مبرهنة برميل الكحول

إبراهيم منصوري

الحوار المتمدن-العدد: 4014 - 2013 / 2 / 25 - 03:54
المحور: التربية والتعليم والبحث العلمي
    

مع بزوغ القرن الرابع عشر، بدأ المسلمون يتقهقرون فكريا وعلميا وحضاريا بينما شرع الغرب في التقدم والرقي على شتى المستويات. ففي إيطاليا، مهد النهظة الأوروبية، أطلق العقل البشري عنانه للإدراك العميق بينما أرسل الإنسان العربي الإسلامي عقله في إجازات طويلة جدا، فتشبت بالخرافات والغيبيات.
X^2
منذ بداية القرن الخامس عشر، بدأ الإيطاليون يتبارون ويتنافسون ويتزاحمون على معارف من شتى الأنواع والأصناف، وازدادت حدة المنافسة مع بداية القرن السادس عشر. في ذلك القرن، كان العالمان الرياضيان "ترتاغليا" (Tartaglia) و "ديل فيوري" (Del Fiore) يطلقان تحدياتهما الرياضية. كانا يضعان إشكالياتهما الرياضية لدى رجال القانون متحديين كل من يستطيع حلها. وفي يوم من الأيام، طرح كل واحد منهما ثلاثين إشكالية رياضية مطالبين بحلها خلال أربعين يوما على الأكثر، فحدث أن استطاع "ترتاغليا" حل جميع إشكاليات خصمه اللدود بينما لم يستطع "ديل فيوري" حل أية إشكالية من الإشكاليات التي طرحها غريمه "ترتاغليا".

من بين أشهر الإشكاليات التي طرحها "ترتاغليا"، نورد ما يلي : "ملأنا برميلا ضخما بالكحول الصافي وبدأنا نضخ منه كل يوم سطلين ونعوضهما بسطلي ماء صاف بنفس السعة. في اليوم السادس، أصبح البرميل يحوي 50 بالمئة ماء وخمسين بالمئة كحولا؛ فما هي سعة البرميل؟". بدأ "ديل فيوري" يفكر مليا في الطريقة المثلى التي تمكنه من حل هذا اللغز الذي شغله ليلا ونهارا حتى كاد أن يدركه مس من الجنون، فلم يجد لذلك سبيلا.

ربما قرأ الكثيرون عن هذه الإشكالية في كتب تاريخ الرياضيات كما على المشباك العنكبوتي؛ ولكن، حسب علمنا، لا توجد في هذه المصادر كلها حلول للإشكالية المطروحة. وسنحاول في ما يلي حل الإشكالية بطريقتنا الخاصة تعميما للفائدة آملين أن نتوصل من المهتمين بتعليقاتهم وملاحظاتهم.

لنرمز إلى سعة البرميل بالحرف اللاتني (x). بعد ضخ السطلين الأولين في اليوم الأول، ستكون كمية الكحول التي يتضمنها البرميل هي (x-2)؛ وبعد تعويض السطلين بمثيلهما من الماء الصافي، ستكون كمية الماء في البرميل هي 2، مع العلم أن مجموع كميتي الكحول والماء بعد العملية، أي السعة الكلية للبرميل، هي دائما (x) لأن مجموع الكميتين هو ((x-2)+2=x).

في اليوم الثاني للعملية، ستتعقد الأمور لأن الكحول أصبح مختلطا بالماء بعد سكب سطلي الماء في البرميل في اليوم السابق. إذن، فإن ضخ السطلين من البرميل في اليوم الثاني سيؤدي إلى ضخ الكحول والماء مختلطين بنسبتين متفاوتتين مع العلم أن نسبة الكحول في البرميل هي ((x-2)/x) ونسبة الماء فيه هي (2/x). إذن، في اليوم الثاني، سيتم ضخ كمية من الكحول قدرها (2.(x-2)/x) بينما سيتم ضخ كمية مياه قدرها ((2.(2/x). أما بعد ضخ هذه الكمية الكحولية، فسيتبقى من الكحول في البرميل في اليوم الثاني ما مقداره:

A2 = (x-2) – 2. (x-2)/x = (x-2)(1-2/x) = ((x-2)^2)/x

وفي هذه المعادلة، يشير الرمز (^) إلى عملية "أس" الرياضية بحيث أن الكمية "^(x-2)" مثلا تعني ((x-2).(x-2)). وسنستخدم نفس الرمز للدلالة على عملية "أس" الرياضية في الباقي من تحليلنا.

وبما أننا عوضنا السطلين اللذين تم ضخهما من البرميل بسطلي ماء صاف، فإن كمية الماء في البرميل ستصبح:

W2 = 2-2.(2/x)+2 = 4-4/x

لنمعن النظر أكثر في المعادلة الأخيرة أعلاه مع استخدام عقولنا بطريقة أنجع. يمكن كتابة الكمية W2 على الشكل التالي:

W2 = 4-4/x = 4.(x-1)/x

وبما أن هذه المعادلة تمثل كمية المياه في البرميل في اليوم الثاني، فيمكن تعريفها على أنها هي الفرق بين السعة الكلية (x) للبرميل وكمية الكحول المتبقية فيه بعد ضخ السطلين في اليوم الثاني، أي الكمية المحسوبة أعلاه: x-2)^2/x). وعلى هذا الأساس، فإن كمية الماء (W2) في البرميل في اليوم الثاني يمكن كتابتها كما يلي:

W2 = x - (x-2)^2/x = (x^2-(x-2)^2)/x
x-(x-2)(x+x-2))/x = 4.(x-1)/x)) =

وباستعمال نفس المنهجية، يمكن حساب كميتي الكحول (Ai) والماء (Wi) لكل يوم (i) حتى اللانهائي. وطبقا لهذه المنهجية، نحصل على الصيغ الرياضية لهتين الكميتين على الشكل التالي:

َA1 = (x-2)^1/x^0 = x-2
A2 = (x-2)^2/x^1 = (x-2)^2/x
2^A3 = (x-2)^3/x
A4 = (x-2)^4/x^3
A5 = (x-2)^5/x^4
A6 = (x-2)^6/x^5
........................................
........................................
(An = (x-2)^n/x^(n-1

َW1 = x - (x-2) = 2
W2 = x - (x-2)^2/x =(x^2 - (x-2)^2)/x
W3 = x - (x-2)^3/x^2 = (x^3-(x-2)^3)/x^2
W4 = x - (x-2)^4/x^3 = (x^4-(x-2)^4)/x^3
W5 = x - (x-2)^5/x^4 = (x^5-(x-2)^5)/x^4
W6 = x - (x-2)^6/x^5 = (x^6-(x-2)^6)/x^5
……………….......................
……………….......................
(Wn = x - (x-2)^n/x^(n-1) = (x^n-(x-2)^n)/x^(n-1

لنعد إلى السؤال الجوهري الذي طرحه "ترتاغليا":"في اليوم السادس، أصبح البرميل يحوي 50 بالمئة ماء وخمسين بالمئة كحولا؛ فما هي سعة البرميل؟". للإجابة على هذا السؤال، نقترح في ما يلي ثلاث طرق متكافئة بالاعتماد على الصيغ الرياضية المبينة أعلاه:

- الطريقة الأولى: حل المعادلة التي بموجبها تكون نسبة كمية الكحول إلى السعة الكلية للبرميل في اليوم السادس تساوي النصف. وعلى هذا الأساس، يتعين حل المعادلة الرياضية التالية:

A6/x = ((x-2)^6/x^5)/x =(x-2)^6/x^655 = ½

أي أن:

(x-2)^6)/(x^6)) = ½

- الطريقة الثانية: حل المعادلة التي بموجبها تكون كميتا الكحول والماء في البرميل متساويتين في اليوم السادس. وطبقا لهذه الطريقة، يتعين حل المعادلة التالية:

A6 = W6

أي:

(x-2)^6)/(x^5) = x - ((x-2)^6)/(x^5))

أي:

2/x-2)^6)/(x^5) = x))

اي:

(x-2)^6)/(x^6)) = ½

مما يعني أن هذه المعادلة تكافئ تلك التي استنبطناها بالاعتماد على الطريقة الأولى أعلاه.

- الطريقة الثالثة: حل المعادلة التي بموجبها تكون نسبة كمية الماء إلى السعة الكلية للبرميل في اليوم السادس تساوي النصف. وبالاستناد إلى هذه المقاربة، يمكن صياغة المعادلة التالية:

W6/x =1/2

أي:

x^6-(x-2)^6)/(x^5))/x)) = ½

أي:

1 - (x-2)/x)^6)) = ½

اي:

x-2)/x)^6)) = ½

مما يعني أن الطرق الثلاثة، رغم اختلافها الخادع، هي في الواقع متكافئة. ولهذا، فإن حل إشكالية "ترتاغليا" تستدعي حل المعادلة أعلاه على الشكل التالي:

x-2)/x)^6)) = ½

أي:

((x-2)/x = 1/(2^(1/6)

أي:


....x = 18,331590297652438558469180863241

إذن، إذا تعادلت كميتا الكحول والماء في البرميل عند متم اليوم السادس، فإن سعة البرميل ستكون هي 18 سطلا وثلث السطل تقريبا، علما أننا نضخ من ذلك البرميل كل يوم سطلين ونعوضهما بسطلين من الماء الصافي وأن البرميل كان في اليوم الأول مليئا عن آخره بالكحول الصافي. ويمكن للقارئ أن يستعمل اللترين كوحدة قياس عوض السطلين علما أن اللتر كوحدة قياس للسعة لم يكن متداولا في زمن "ترتاغليا".

ويمكن تعميم المنهجية التي استخدمناها من أجل حساب سعة البرميل عند متم أي يوم (n)، وذلك عن طريق حل المعادلة العامة التالية:

x-2)/x)^n)) = ½

أي:

((x-2)/x = 1/(2^(1/n)

أي:

(x = (2^(n+1)/n))/(2^(1/n)-1

وهكذا تنتهي قصة مبرهنة برميل الكحول والتي يمكن تطبيقها في علوم حقة وغير حقة شتى؛ وسنعود إلى هذا التطبيق إن شاء الله في دراسات قادمة. وكل عام وأنتم برميل كحول...

كتبها د. إبراهيم منصوري، أستاذ العلوم الاقتصادية بجامعة القاضي عياض بمراكش يوم الجمعة 22 فبراير 2013.

#إبراهيم_منصوري (هاشتاغ)      

---

ترجم الموضوع إلى لغات أخرى - Translate the topic into other languages

---

الحوار المتمدن مشروع تطوعي مستقل يسعى لنشر قيم الحرية، العدالة الاجتماعية، والمساواة في العالم العربي. ولضمان استمراره واستقلاليته، يعتمد بشكل كامل على دعمكم. ساهم/ي معنا! بدعمكم بمبلغ 10 دولارات سنويًا أو أكثر حسب إمكانياتكم، تساهمون في استمرار هذا المنبر الحر والمستقل، ليبقى صوتًا قويًا للفكر اليساري والتقدمي، انقر هنا للاطلاع على معلومات التحويل والمشاركة في دعم هذا المشروع.
 

كيف تدعم-ين الحوار المتمدن واليسار والعلمانية على الانترنت؟

تابعونا على:

الفيسبوك

التويتر

اليوتيوب

RSS

الانستغرام

لينكدإن

تيلكرام

بنترست

تمبلر

بلوكر

فليبورد

الموبايل