محمد باليزيد
الحوار المتمدن-العدد: 3564 - 2011 / 12 / 2 - 20:16
المحور:
الادارة و الاقتصاد
قبل المقدمة:
لقد سبق وأن أشرت للقارئ العزيز بأن طريقتي ومنهجي التي حددت هي تقديم الأشياء، طبعا حسب مقدراتي وإمكانياتي، مشروحة ومبرهن عنها. هذا النهج الذي هو في اعتقادي مفيد على الأقل لفئتين من القراء: أ) الطالب في الجامعة الذي يجد في الكراسات والكتب الأكاديمية كثيرا من المعلومات لكن أحيانا مع قليل من البرهنة. ب) المناضل الذي يريد أن يدخل غمار السياسة وعليه أن يعي أن الاقتصاد هو أساس السياسة وهو لا يجد أحيانا حتى الكتب الأكاديمية التي تسهل عليه مهمة فهم ما يريد من الاقتصاد. وانطلاقا من هذا، أستسمح القارئ لأن أشير إلى أن الأمور في صفحات الموسوعة الحرة " Wikipédia " بعيدة عن هذا النهج. وإليكم مثالا على ما أقول:
في صفحة "indice de Hoover" حوالي 21/11/2011، ومباشرة تحت الصيغة: كتب أحد ما يلي:
" في الحقيقة، فإن هذه الصيغة هي فقط صيغة تقريبية لمعامل جيني وليست صيغة مؤشر هوفر.." !! فإذا كانت هذه ليست هي صيغة مؤشر هوفر فما المانع من كتابة هذه الأخيرة واضحة على الصفحة المعنونة باسمها؟ هل مؤشر هوفر هو سر من الأسرار أم تراه ضاع كما ضاع عدد من الآثار التاريخية؟ إنني أرى أن هذه الجملة لا منطق لها ولا معنى في هذه الصفحة. وباختصار أرجو من كل من ليس متيقنا من شيء ما أن لا يتدخل في صفحات الموسوعة الحرة لأن هذا استغلال سيئ لتلك الحرية بالإضافة إلى أنه ضار بقيمة العلم وبالقراء.
يجد القارئ النص الفرنسي أسفله.
نظرا لأن هذا الموقع لا يحمل الصور والصيغ الرياضياتية، فعلى القارئ العزيز تحميل المقال كاملا من الرابط:
http://www.4shared.com/file/89Pfl1oe/___2_.html
I) مقدمة:
كما شرحت، وبرهنت على، كل من معامل جيني"Gini" و مؤشر هوفر"Hoover" ودالة لورونز"Lorenz"، سأحاول أن أقوم هنا بنفس الشيء بالنسبة لمؤشر تيل "Theil". انظر الرابطين:
http://www.4shared.com/get/ZpmG2_d0/___.html
http://www.4shared.com/document/ZYtYBV5V/Courbe_de_Lorenz_et_coefficien.html
في الصفحة "‘’ 2 L indice de Theil et indice de Hoover’’ " من الموسوعة الحرة كتب ما يلي:
[[[[.مؤشر "Theil" هو مؤشر لقياس اللامساواة مبني على " l entropie de Shannon "... بالنسبة لمجتمعات مقسمة إلى فئتين " deux quantiles" حيث A% من المجتمع تحصل على B% من الدخل و B% من المجتمع تحصل على A% من الدخل. " A+B=100%. " بالنسبة لمجتمعات كهذه، فإن معامل جيني و مؤشر هوفر يتطابقان.
صيغة مؤشر تيل:
لنعتبر N عدد الفئات و Ei دخل الفئة ذات الرقم i
Ai عدد الأفراد في الفئة ذات الرقم i
Etotal الدخل الكلي للمجتمع و Atotal العدد الكلي للأفراد.
ومع جعل: E i = Ei / Etotal et A i = Ai / Atotal: سنحصل على:
إنه مؤشر تيل اعتمادا على الدخل. ... أما المؤشر اعتمادا على الساكنة فهو:
]]]]
II) إعادة تشكيل مؤشر تيل:
سنتكلم في البداية عن مؤشر تيل دون التمييز بين المعتمد على الدخل و المعتمد على الساكنة. لنأخذ الصيغة:
وبجعلنا مع:
هو نسبة الفئة i من كل المجتمع و هو نسبة دخل هذه الفئة من كل الدخل. كذلك مع جعلنا . ولتسهيل العمليات نأخذ كذلك: . نعلم أن جعل لا يفسد شيئا من العملية بقدر ما يجعل الحساب أكثر دقة لأننا ندفع بتقسيم المجتمع إلى أكبر عدد من الفئات. وأخذا بعين الاعتبار ب: ، سنحصل على: . إنه المؤشر الموصوف من طرف الصفحة بأنه محسوب اعتمادا على الدخل. هكذا إذن سنجد أن. بحيث هو المؤشر المعتمد على الدخل و المؤشر المعتمد على الساكنة. ثم، أخذا بعين الاعتبار بأن ، (1) سنحصل على:
أولا، علينا أن ننظر ماذا ستعطينا هذه الصيغ في الحالتين التاليتين:
أ) حالة التساوي المطلق في توزيع الدخل.
ب) حالة اللاتساوي المطلق كما حدده جيني: فرد واحد يستحوذ على كل الدخل في حين الباقون، عبيده حسب تعبير جيني، لا دخل لهم.
سوف نعتبر المتجهتان x و y هما على التوالي، متجهتا الساكنة والدخل المرافق لها . ستكونان إذن في الحالتين المذكورتين كما يلي:
أ)
ب)
بهذه المعطيات ستكون قيم كل من G، H، و كما يلي:
حالة التساوي المطلق حالة اللاتساوي المطلق
G 0
H 0
logarithme népérien 0 +∞ (ou non défini)
0 +∞ (ou non défini)
هناك كما نرى مشكل: قيمة كل من و غير محدودة. لكن يمكن أن نتساءل: ألا يمكن أن يكون سبب هذا المشكل هو تحديد جيني ل" اللاتساوي المطلق"؟ ربما الأمر كذلك. لأنه يمكننا أن نعتبر بأنه لا وجود لفرد/فئة ذات دخل منعدم.
في الصيغة: الحد الأول في المجموع هو مجموع حدود على شاكلة: . ونعلم أنه في الرياضيات الصيغة لا تأخذ قيمة محدودة إلا إذا كان x يقترب من صفر وليس يساوي صفر. لقد حدد السيد جيني "اللاتساوي المطلق" بمجتمع مكون من سيد واحد الجميع عبيده. وفي نظرنا، هذا المثل ليس له أكثر من "قيمة تعليمية". ذلك أننا في مجتمع رأسمالي لا وجود لعبيد فيه وأنه حتى الأشخاص، مثل المتسولين أو المشردين الذين يعيشون في خيريات، حتى هؤلاء يمكن اعتبار دخلهم غير منعدم لأنهم يعيشون من "دخل محول" عن طريق ميكانيزمات الدولة. ويمكن دراسة أثر "الدخل المحول" على هذه المؤشرات في موضع آخر. ما يهمنا هنا هو أن نعتبر الدخل دائما غير منعدم مهما قل. هكذا إذن سنحل المشكل بأخذ اللاتساوي المطلق كما يحدده المثال التالي (ليس حصريا): فرد/فئة واحد يستحوذ على الدخل الكلي إلا جزء صغير منه، يوزع على فرد/فئة. المتجهتان x و yستكونان كما يلي: وهو توزيع سيقترب من "اللاتساوي المطلق" كما حدده جيني كلما كانت n كبيرة.
في هذه الحالة سوف نحصل على:
حالة التساوي المطلق حالة اللاتساوي الشبه المطلق
G 0
H 0
logarithme népérien 0
0
نلاحظ إذن أن هذه القيمة ستقترب من 1 إذا أخذنا اللوكاغيتم ذو الأساس n (le logarithme à base n.) بدل اللوكاغيتم النيبيري (le logarithme népérien).
الصيغة النهائية لمؤشر تيل هي إذن:
أو مع أخذ
III) لماذا صيغتان و ؟
سيتساءل القارئ: لماذا صيغتان لمؤشر واحد هو مؤشر هوفر؟ والسؤال في نظري مشروع وجدي، فإذا كانت الصيغتان تعطيان نفس النتيجة، وبما أنهما تعتمدان على نفس الباراميترات، فهما إذن صيغة واحدة وتقديم الثانية هو شيء من الإطناب. أما أن تعطي الصيغتان نتائج مختلفة فهذا سيكون مشكلا كبيرا حيث لن نعرف آنذاك أين هي القيمة الحقيقية للمؤشر، لذلك فهذه الحالة غير واردة. ولكن ما دامت الصفحة قد قدمت صيغتان فعلينا أن نتأكد من أن هناك تطابق لهما.
بالنسبة للتوزيع: مثلا، نجد أن: .
كما أنه بالنسبة للتوزيع: الفئة التي تمثل %a من الساكنة تحصل على b% من الدخل و الفئة التي تمثل b% من الساكنة تحصل على %a من الدخل و مع اعتبار أن: سنجد أن: في هاتان الحالتان هناك تساو بين و لكن الأمثلة ليست برهنة. فإما أن نعثر على مثال مضاد (contre exemple) يثبت لنا انه ليس هناك تساو، وإما أن نبرهن على التساوي في الصيغة العامة:
.
نظرا للصعوبة التي واجهتني في الاختيار الثاني أستخلص ما يلي:
أ) أن الصيغة الواحدة كافية لحساب المؤشر.
ب) أترك البرهنة على الاختيار الأول لمتطوع آخر مشكورا.
IIII) مقارنة بين المؤشرات الثلاث:
لنقارن بين هذه المؤشرات، سوف نأخذ أمثلة مبسطة، مجتمع مقسم إلى فئتين فقط بحيث الفئة التي تمثل %a من الساكنة تحصل على b% من الدخل و الفئة التي تمثل b% من الساكنة تحصل على %a من الدخل. في هذه الحالة ستعطينا المؤشرات النتائج التالية:
formule a=50 (*) a=55 a=60 a=65 a=70 a=75
T
0 0,004 0,018 0, 040 0,074 0,119
H (a-b)/n 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
G
0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
formule a=80 a=85 a=90 a=95 a=99
T
0,181 0,264 0,382 0,575 0,978
H (a-b)/n 0,60 0,70 0,80 0,90 0,98
G
0,60 0,70 0,80 0,90 0,98
وكي نسهل على القارئ مسألة الاختيار بين هذه المؤشرات، حسب غرضه، سنمثل هذه الأرقام على المبيان التالي:
أ) نلاحظ أنه في حالة لاتساو يزداد خطيا، يزداد المؤشران H و Gبشكل خطي كذلك بينما المؤشر T لا يتبع نفس التطور. يمكن أن نقول أنه لا يساير التوزيع بدقة.
ب) الأرقام الواردة في صفحة الموسوعة الحرة غير دقيقة. فمثلا يقال في الصفحة أن مؤشر تيل يساوي 0,5 إذا كان ( b=26 a=74) ويساوي 1 إذا كان ( a= 82,4 et b=17,6). وهذا يخالف كثيرا ما حصلنا عليه.
ج) نلاحظ أن H و Gيتطابقان في الحالات المأخوذة كمثال وهذا ما أشارت إليه صفحة الموسوعة. وفعلا فإذا أخذنا بعين الاعتبار بأن سنجد بأن صيغ كل من H و Gهي و هاتان الصيغتان كلتاهما تتلخصان في:
نتساءل: هل هذان المؤشران يتساويان فعلا؟
الجواب سنحصل عليه بأخذ أمثلة أخرى:
لنأخذ مجتمعا مقسما إلى أربع فئات بحيث:
هذا التقسيم يحقق أن:
بالنسبة لمؤشر هوفر نجد أن أي أن: و . وبالنسبة لمعامل جيني، الذي سنحسبه بطريقة (par matrices) (2) نجد أن: و .
إذن نستنتج أن H و G ليسا متطابقين سوى حين نقسم المجتمع إلى فئتين فقط، وهذا بعيد جدا عن الواقع.
هنا أود أن أشير للقارئ العزيز إلى أن ما سميته، في المقالين السابقين، ب"تمييز معامل جيني كيفيا كما كميا" بين حالات اللامساواة بأن هذا التعبير ليس مناسبا ذلك أن الحالتين المقدمتين كمثال الفرق بينهما هو أنه في الحالة الأولى قسمنا المجتمع إلى فئتين فقط وجمعنا في الفئة الثانية فئتان غير متجانستان، في حين فصلنا هاتين الفئتين في الحالة الثانية ليصير المجتمع مقسما إلى ثلاث فئات. نعتذر عن هذا "الخطأ في التعبير" ونؤكد بأن المؤشرات كلها تعطي نتيجة دقيقة كلما كان تقسيم المجتمع إلى عدد أكبر من الفئات وليس دمج فئات غير متجانسة في فئة واحدة.
1) يجب أن نذكر بأن ليست ضرورية ولكنها لا تنقص إن لم تزد في دقة الحسابات.
2) مع و
3) ملاحظة أود أن أضيفها هنا هي أنني حاولت أن أغني الجزء العربي من الموسوعة الحرة Wikipédia بمقالاتي هذه لكنني لم أتمكن بحيث أن الطريقة التي يقبلها مني الجزء الفرنسي، وهي إضافة، إلى الصفحة، رابط يُفتح من خلاله مقالي، هذه الطريقة وجدت أن الجزء العربي لا يقبلها إذ أنه يعتبر ذلك الرابط "مشكوكا فيه".
Inégalité et méthodes de mesure(2)
Pré-introduction :
Pour moi, le chemin que j’ai fixé est « donner au lecteur, selon mes capacités bien sûre, des choses bien expliquées et démontrées ». à cet occasion, je m’excuse pour signaler que les choses sur la page de l encyclopédie libre, Wikipédia, sont bien loin de çà. En voilà un simple exemple :
sur la page "indice de Hoover" , aux environs du 21/11/2011, et à la fin de la présentation de cet indice, juste après la formule: ,
quelqu’un a écrit :« En réalité, cette formule correspond à une approximation de l indice de Gini et non à l indice de Hoover... »
Si ce n’est pas çà l’indice de Hoover, pour quoi ne pas le donner explicitement sur cette page? Est-il qlq chose de secret ou est-il perdu/disparu comme beaucoup de monuments historiques? Je crois que cette phrase n’a ni de logique ni de sens dans cette page.
En résumé, nous prions à tous de ne pas toucher aux pages de l’encyclopédie libre sans avoir qlq chose de sûre à dire pour ne pas abuser de cette chère liberté.
I) Introduction :
Comme j’ai expliqué et démontré, selon mes capacités, la courbe de Lorenz, le coefficient de Gini et l’indice de Hoover, j’essayerai cette fois de faire la même chose pour l’indice de Theil [voir la page ‘’ 2 L indice de Theil et indice de Hoover’’ de Wikipédia ]
dans la dite page, aux environs du 21/11/2011, on a écrit ce qui suit :
[[[…L’indice de Theil est un indice de mesure d inégalité fondé sur l entropie de Shannon ….. pour des sociétés divisées en deux quantiles, ou A% des peuples ont B% des ressources et B% des peuples ont A% de toutes les ressources. A+B=100%. Pour de telles sociétés, l indice de Hoover et le coefficient de Gini sont les mêmes mesures.
Formule pour l indice de Theil :
N : Nombre des quantiles
Ei : ressources pour le quantile i,
Ai : effectif dans le quantile i,
Etotal : ressources pour tous les quantiles dans une société (une nation, etc.),
Atotal : effectif de la société (de la nation, etc.).
En cas de E i = Ei / Etotal et A i = Ai / Atotal:
C est l inégalité par référence aux ressources.
L inégalité par référence à la population est :
En cas de E i = Ei / Etotal et A i = Ai / Atotal:
]]]
II) Reconstruction de l indice de Theil :
Nous parlerons, premièrement d’un (seul) indice de Theil sans distinguer de différence entre :
a) un indice basé sur L inégalité par référence aux ressources et
b) un indice basé sur l inégalité par référence à la population.
La formule donnée est :
nous essayerons de reformuler cette formule comme nous l’avons fait aux formules du coefficient de Gini et de l’indice de Hoover. Nous allons pour cela considérer que , puis en le normalisons il sera et de même .
de la définition des paramètres de l indice de Theil on déduit que :
avec :
est la portion (le quantile) de la société dans le revenu est égal à . Aussi, pour simplifier sans toucher à l’efficacité du raisonnement, nous pouvons pousser ‘’le morcèlement’’ de la société jusqu’à ce que :
. Ainsi, nous aurons:
.
l indice de Theil devient alors, en tenant compte que
, devient :
. C’est l’indice qualifie de ‘’basé sur L inégalité par référence aux ressources’’ par la page de Wikipédia et noté TT, l’autre qualifié de ‘’ basé sur l inégalité par référence à la population’’ et noté TL. on a alors:
en tenant compte de l’hypothèse :
on aura :
il reste à savoir est-ce un logarithme népérien ou autre ? ceci est simple à déduire après.
Nous devons voir premièrement ce que donnent ces deux formules pour deux cas particuliers :
a) société à égalité parfaite.
b) société à inégalité parfaite (au sens défini par Gini, voir page « le coefficient de Gini » ou mes articles cités plus haut.
soit x le vecteur ‘’subdivision’’ de la société et y le vecteur ‘’répartition de revenu’’ lié à x. alors : . Et avec nous obtenons :
a)
b)
société à égalité parfaite société à inégalité parfaite
G 0
H 0
logarithme népérien 0 +∞ (ou non défini)
0 +∞ (ou non défini)
On a alors un problème, les valeurs de et sont infinies.
Mais on peut se demander : le problème, donner une valeur infinie, ne revient-il pas au sens donné à « l’inégalité parfaite » par Gini ? C’est un peu çà vraiment, car en réalité, on peut supposer qu’il n’y a pas de quantiles ayant pour revenu « zéro exacte ».
dans l’expression
le premier terme de la somme est une somme des termes de la forme : or en mathématique l’expression n’a pas de limite fini que si x tend vers zéro et non pas si x=0.
Mr Gini a parlé d’ ‘’un maître et ses esclaves’’. À mon avis, au-delà de son intérêt pédagogique, ce cas n’a pas de valeur en parlant de l’inégalité dans une société capitaliste. Car on ne peut parler d’un ‘’revenu nul’’ que pour un mendiant ou un sans-abri vivant dans une ‘’maison des sans-abri’’. Ces gens là vivent d’un revenu ‘’transféré’’ grâce aux mécanismes de l’état et leur intervention dans le calcul des indices sera l’objet de la discussion des ‘’ revenu transférés’’. Revenons au problème de la valeur infinie de l’indice de Theil. Comme nous avons dit, on peut considérer que, dans une société, les revenus peuvent bien sur s’approcher de zéro sans l’atteindre. Nous essayerons alors de calculer l’indice de Theil dans de telles conditions. Nous somme confronté là à deux problème :
a) premièrement on doit trouver des distributions qui s’approchent de celle de ‘’l’inégalité parfaite de Gini’’. On voit bien que sur la page de Wikipédia on se contente de dire ‘’ Un indice de 1 indique une inégalité représentée par une société où 82,4 % des individus ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des individus ont 82,4 % des ressources.’’ Mais n’y a-t-il pas des distributions pires que çà ? Que sera-t-il l’indice ?
b) deuxièmement on doit chercher comment reformuler l’indice de Theil pour donner des valeurs limites et comprises entre 0 et 1.
Essayons maintenant de voir ce que sera l’indice de Theil pour une distribution représentée par les vecteurs x et y tels que :
où la distribution très proche de ‘’l’inégalité parfaite de Gini’’
ce qui donne : on voit clairement que pour que cette valeur soit finie il suffit d’utiliser le logarithme à base n. ainsi nous obtenons la formule définitive de l’indice de Theil pour la distribution précédente : . Lorsque n est grand, la valeur s’approche du 1. Par exemple si n=100 on aura T=0,978. Et la formule générale de l’indice de Theil est bien : .
**) Mais quoi pour l’indice de Theil qualifié « basé sur l inégalité par référence à la population’’ ?
Pour la distribution précédente on obtient : . Et aussi pour une société où a/n des peuples ont b/n des ressources et b/n des peuples ont a/n de toutes les ressources. a+b=n. On aura aussi :
Cette égalité est-elle vraie pour n’importe quelle distribution ?
Il est difficile de travailler sur l’expression :
c’est pour quoi on doit trouver un contre exemple qui ne vérifie pas l’égalité pour conclure que les deux formules ne sont pas toujours identiques.
J’ai trouvé un peut de difficulté à vérifier cette égalité. Je laisse l’affaire à un autre volontaire avec mes remerciements. Et aussi avec la remarque qu’on n’a pas besoin de deux formule du même indice puisque les deux utilisent les mêmes paramètres et donnent la même valeur.
Revenons à la page de Wikipédia, on lit :
*) Un indice ‘’ de Theil’’ de 0 indique une égalité absolue.
*) Un indice de 0.5 indique une inégalité représentée par une société où 74 % des individus ont 26 % des ressources et 26 % des individus ont 74 % des ressources.
*) Un indice de 1 indique une inégalité représentée par une société où 82,4 % des individus ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des individus ont 82,4 % des ressources1.
Mais nous avons trouvé que la valeur de 1 correspond à une « inégalité presque parfaite » proche à l’inégalité parfaite au sens défini par Gini
calculons l’indice T pour « une société où 74 % des individus ont 26 % des ressources et 26 % des individus ont 74 % des ressources. »
dans ce cas on aura(1) on aura par :
société à égalité parfaite société à (74-26) et (26-74) société à (82-18) et (18-82) société à (99-01) et (01-99) société à inégalité parfaite
L indice de Theil TT 0 0 ,109
0,211
0,978 1
0,5 est donc loin d’être l’indice de Teil d’une « société où 74 % des individus ont 26 % des ressources et 26 % des individus ont 74 % des ressources ». pour quoi donner des chiffres non exacts sur la page de l’encyclopédie ?
Voila maintenant des chiffres pour les trois indices concernant des sociétés partagées en deux quantiles seulement :
formule a=50 (*) a=55 a=60 a=65 a=70 a=75
T
0 0,004 0,018 0, 040 0,074 0,119
H (a-b)/n 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
G
0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
formule a=80 a=85 a=90 a=95 a=99
T
0,181 0,264 0,382 0,575 0,978
H (a-b)/n 0,60 0,70 0,80 0,90 0,98
G
0,60 0,70 0,80 0,90 0,98
(*) a=60 veut dire : société où 60 % des individus ont 40 % des ressources et 40 % des individus ont 60 % des ressources.
avec on obtient dans ce cas :
dans la formule de G et H on obtient:
pour quoi a-t-on arrivé à cette égalité ? Est-ce vraiment la formule n’est «qu’une approximation de l indice de Gini et non l indice de Hoover... » ?? Mais, notre raisonnement nous a conduits même à l’égalité!!
Tout ce ‘’coïncidement’’ de G sur H ne vient à mon avis que des formes de distributions choisies : la division de la société en deux quantiles seulement dont chacun est totalement homogène.
Pour répondre à cette question, il suffit de prendre d’autre exemple :
soit une distribution dans la société telle que :
on voit bien que : 20a+40b+30c+10d=1
pour l’indice de Hoover on a :
ce qui donne
on utilisant la méthode par matrices indiquée dans les deux articles, cités plus haut (2) pour calculer le coefficient de Gini, on obtient :
et donc les deux formules présentées pour l’indice de Hoover et le coefficient de Gini sont loin d’être la même formule.
Pour compléter la comparaison, on peut aussi tracer les trois indices, mais seulement pour des distributions en deux quantiles, sur une figure :
Je crois que l’allure de ces indices peut aider l’utilisateur à choisir entre eux.
1) On doit donner beaucoup d’attention à ce problème. Car rassembler, dans un seul quantile, un nombre de sous quantiles n’ayant pas le même revenu, donne des résultats qui sont loin de la réalité. Plus on pousse la « segmentation » de la société, plus on obtient des quantiles homogènes et plus les indices donnent des résultats qui reflètent mieux la réalité.
2) avec
#محمد_باليزيد (هاشتاغ)
كيف تدعم-ين الحوار المتمدن واليسار والعلمانية
على الانترنت؟
|
ارسل هذا الموضوع الى صديق
|
حفظ - ورد
|
بحث
|
إضافة إلى المفضلة
|
للاتصال بالكاتب-ة
اليوتيوب
لينكدإن
تيلكرام
تمبلر
بلوكر
الموبايل
