منحى لورونز ومعامل جيني: شرح وبرهنة

محمد باليزيد

الحوار المتمدن-العدد: 3245 - 2011 / 1 / 13 - 13:09
المحور: الادارة و الاقتصاد
    

منحى لورونز ومعامل جيني: شرح وبرهنة
منحى لورونز ومعامل جيني هما مؤشران لقياس مدى التساوي في توزيع الدخل. وفي صفحات الموسوعة wekipidia، قدم كل منهما كتعريفات "définitions" بدون شرح ولا برهنة. ولأننا نرى أن مصلحة القارئ، سواء كان متخصصا في ميدان كالاقتصاد والإحصائيات، أو غير متخصص، فإن الفائدة الكبرى تكمن حين يجد معطيات ومعلومات موثقة، مبرهن عنها وذات مصداقية. ولأن هتان المسألتان مهمتان لكل من يهتم بمسألة توزيع الدخل لهذا سنحاول فيما يلي فعل هذا.
ولأن (Word) لا يظهر الصيغ الرياضياتية كما هي، فقد حولت هذه الأخيرة إلى شكل صور. ولأن هذا المقال لا يمكن أن يقرأ دون رسوماته وأرقامه وعلاقاته الرياضياتية، ولأن موقع الحوار المتمدن لا يحمل الصور، حسب معلوماتي، فقد وضعت هذا المقال كاملا في الموقع:
http://www.4shared.com/document/ZYtYBV5V/Courbe_de_Lorenz_et_coefficien.html
فعلى من يريد قراءة المقال قراءة كاملة أن يحمله من الموقع المذكور. سوف لن تظهر الصور مباشرة. وقد لاحظت أن النقر على الفراغات ثم النقر خارجها يظهر ما بالفراغ من صور. يرجى النقر حتى على الفراغات الصغيرة بالنص لأنها يمكن أن تحمل صورا صغيرة.

l) منحى لورونز (Courbe de Lorenz)
لنأخذ التقسيمة التالية لمجتمع، حسب الدخل، x1 , x2, ….xn. بالنسب المئوية. ليكن y1 هو النسبة المئوية من مجموع الدخل الذي تحصل عليه المجموعة الممثلة بالنسبة x1.
x1 ----> y1
x2 ---->y2
……………..
xn ---->yn.
بديهي أن هذه السلسلة من الأعداد تحقق الشرط التالي:
∑xi=100 ET ∑yi=100 من i=1 إلى i=n.
ليكن N هو عدد أفراد هذا المجتمع(لا يستحسن في هذا المجال أخذ الأسرة كوحدة حساب لأن ذلك يعطي نتائج غير دقيقة). إذن ف:
n1=x1*N هو عدد أفراد الفئة(1) والذين معدل دخلهم، فيما بينهم، هو:
y1*R /n1= y1*R / x1*N .
لدينا إمكانيتان في الحساب، فإما أن نأخذ ∑xi=100 (ونفس الشيء بالنسبة ل les yi ) وإما أن نأخذ ∑xi=1 أي أن x1=0,08 (8 %) بدل x1=8.
لدينا الآن سلسلتان من الأعداد xi و yi. هل نستطيع تمثيلهما على منحى (courbe) الواحدة بدلالة الأخرى؟ قبل أن نجيب بنعم أو لا سوف نحاول تمثيل هذه المعطيات بطريقة أخرى، غير المنحى، لأن هذا سيساعدنا على الإجابة على سؤالنا. من أجل هذا سوف نأخذ معطيات عددية كمثال لنعمل عليه.
لنأخذ مثلا n=5 و:
(x1 ;x2 ;x3 ;x4 ;x5 )=(30 ;20 ;15 ;20 ;15)
(y1 ;y2 ;y3 ;y4 ;y5 )=(12 ;30 ;8 ;20 ;30)
إن تمثيل هذه المعطيات ب"العصي"، en bâtonnées ، ربما الترجمة غير دقيقة. ستعطينا ما يلي:

نلاحظ جيدا بأن ترتيب xi في هذا التمثيل لا يفقد شيئا من المعطيات. لكننا نعلم أن معطيات قابلة للتمثيل بمنحى ودالة لا تسمح لنا بترتيبها كيفما اتفق. نستخلص إذن أن هذه المعطيات غير قابلة للتمثيل بطريقة المنحى. لأنه ببساطة، على محور الأراتب، فإن 2 يجب أن تسبق 3 و5 وغير ذلك، الشيء الذي لا يتوفر في هده السلسلة. إذن كي تكون معطياتنا قابلة للتمثيل على منحى علينا أن نستثمرها بطريقة أخرى، دون ضياع المعلومات طبعا.
من أجل تسهيل العمليات، وحتى لا نسقط في أخطاء محتملة، علينا أن نرتب المعطيات بالشكل التالي: كيفما كان i، يجب أن يكون دخل الفرد من الفئة i أقل أو يساوي دخل أي فرد من الفئة(i+1). أي أنه:
الشيء الذي يعطينا:
كيفما كان i. هذا سيعطينا المعطيات السابقة مرتبة كما يلي:
(x1 ;x2 ;x3 ;x4 ;x5 )=(30 ;15 ;20 ;20 ;15)
et (y1 ;y2 ;y3 ;y4 ;y5 )=(12;8 ;20 ;30 ;30)
بالإضافة لهذا، ومن أجل جعل عمل الإحصائي أسهل حين تطبيق هذه الطريقة، يمكننا أن نضيف الشرط التالي: كل فئات المجتمع متساوية العدد. تطبيقيا هذا الشرط لا يشكل أي عائق. إذن، كيفما كان i فإن
لنكون الآن سلسلتان جديدتان انطلاقا من السلسلتان السابقتان بحيث:

إنها متتاليات تراكم المتتاليات الأولى. إذن، ودون اعنبار هنا الشرط: xi+1=xi=1/n سنحصل على:
(X1 ;X2 ;X3 ;X4 ;X5 )=(30 ;45 ;65 ;85 ;100)
et (Y1 ;Y2 ;Y3 ;Y4 ;Y5 )=(12;20 ;40 ;70 ;100)
وهكذا، وبعد جعل (X5=1etY5=1) يمكننا هنا أن نرسم منحى نبين فيه Y بدلالة X .
Fig :3


إنه منحى لورونز Max O. Lorenz الذي يوضح لنا، مبيانيا، عدم تساوي توزيع الدخل(inégalités de revenu.).
في ما يلي الشكل الموجود في الموسوعة:

Fig :4
هدا المبيان مأخود من الموقع Wikipédia.
II) معامل جيني ( coefficient de Gini ):
هذا المعامل حدد من طرف الإحصائي الإيطالي ،Corrado Gini ، كمؤشر عددي عن مدى حدة اللاتساوي ،في توزيع الدخل داخل أمة،دولة، ما. ولقد حدده جيني كما يلي:
G=A/(A+B) بحيث:
_ B هي المساحة المحصورة بين: منحى لورونز، محور الأراتيب (l’axe des x) والمستقيم ذا المعادلة: x=1. انظر الشكل5
Fig5
_ A هي المساحة المحصورة بين: منحى لورونز والمستقيم ذا المعادلة: y=x.
نلاحظ جيدا أن (A+B=1/2) نصف مساحة مربع طول ضلعه 1. إذن: G=2A=1-2B.
رياضيانيا، B=∫▒█(1@0)YdX.
لكن هذه الطريقة لا تستعمل إلا إذا كان "البراميتر" x متصل (continue) وكانت y ذات صيغة دلالية من x .وهو ما لا ينطبق على حالتنا حيث المعطيات xi، مهما كبر عددها، متقطعة (non continues ). لهذا علينا أن نستعين بصيغة Riemann التي تعمل على معطيات متقطعة. والتي ستعطينا في حالتنا:
مع اعتبار .
وما دام فإن: .. مع اعتبار أن: وسنحصل على:

وهو ما سيعطينا في الأخير:

وهذا ليس سوى نتيجة جداء deux matrices كما يلي:

نذكر بأن جمع deux matrices نحصل عليه بإضافتهما حدا إلى حد أما الجداء فنحصل عليه بضرب، حدا بحد ومن اليسار إلى اليمين في الفرنسية، السطر الأول من matrice الأولى في العمود الأول من matrice الثانية ثم السطر الثاني في العمود الثاني وهكذا يكون جمع هذه الحدود هو الجداء.
نعلم أن المعاملG،تبعا لتحديده، محصور بين 0 و1.
G=A/(A+B) ونرى بسهولة أن: A+B=1/2. لأن A+B هي نصف مساحة مربع ضلعه يساوي 1. إذن A=1/2-B ثم G=(1/2-B)/(1/2-B+B) وفي الأخير: G=1-2B.
يمكننا أن نتساءل: هل يوضح هذا المعامل بإخلاص واقع تساوي أو عدم تساوي[رياضياتيا لا نستعمل مصطلح مثل عدالة] الدخل؟ بداية نرى أن G لا يظهر في صيغتها الأخيرة سوى B وليس A و B معا. أليس هذا خللا؟
إن A و B واحدهما في الآخر وهما غير منفصلان. ف G هي في نفس الوقت G=1-2B و G=2A. وما دامت A هي المساحة الفاصلة بين منحى لورونز، التوزيع الحقيقي للدخل، وبين المستقيم ذا المعادلة: y=x، الذي يمثل التوزيع المتساوي تساوسا مطلقا للدخل، فإن A فعلا يعطي صورة واضحة/مخلصة عن مدى تساوي أو عدم تساوي توزيع الدخل. الآن لماذا G=2A وليس G=A؟ فقط من أجل الحصول على معامل تكون قيمته بين 0 و1 وليس بين0 و 0،5 مثل A.
III) تطبيق وتجريب:
لنحسب، من أجل التجريب، G في حالتين حديتين لتوزيع الدخل: أ) حالة التوزيع المتساوي بالمطلق للدخل. ب) حالة التوزيع اللامتساوي بالمطلق للدخل.
أ) في هذه الحالة يكون كل الدخل، 1 أي واحدR، موزع بالتساوي على كل الفئات مما سيعطينا: كيفما كان i، فإن (xi=1/n معطى دائم) yi=1/n . إذن:
Matrice:2
أي

أي أن 2B=1 و G=0
ب) حالة اللاتساوي المطلق:
في هذه الحالة فإن فردا واحدا يستحوذ على كل الدخل. إذن سيكون لدينا:
كيفما كانت i i
نختزل ب n سنحصل على:
. وحين يكون n عددا كبيرا فإن:
. وهي على صيغة (2C-1). إذن، بدل صيغة (1-2B) لدينا صيغة (2C-1). هل هي نفس النتيجة ؟ من أجل هدا علينا أن نرى قيمة C هده. يجب ،أولا، ملاحظة أن في B=Σ(i=1àn)Yi xi لدينا Yكبيرة (متراكمة) و x صغيرة (غير متراكمة). وهو عكس ما لدينا في C=Σ(i=1àn) Xiyi حيث لدينا X كبيرة (متراكمة) وy صغيرة (غير متراكمة). وكي نتبين ما تعنيه C يجب الاستعانة بالمبيان التالي :

Fig :5
إن الحد هو المساحة السوداء على المبيان. إذن C هي المساحة المحصورة بين: منحنى لورونز، محور الأفاصيل (l’axe des Y) و المستقيم ذا المعادلة: Y=1 . انطلاقا من هدا فإن C=1-B=1/2+A. إدن
.
أما كيفية حساب C (en matrice) فهو كالتالي: ( انظر النص الفرنسي:matrice4)
Matrice 4
الصيغ الثلاث إذن تؤدي إلى نفس النتيجة ويبقى على المستعمل اختيار الأنسب والأسهل.

#محمد_باليزيد (هاشتاغ)      

---

اشترك في قناة ‫«الحوار المتمدن» على اليوتيوب
حوار مع الكاتب البحريني هشام عقيل حول الفكر الماركسي والتحديات التي يواجهها اليوم، اجرت الحوار: سوزان امين	حوار مع الكاتبة السودانية شادية عبد المنعم حول الصراع المسلح في السودان وتاثيراته على حياة الجماهير، اجرت الحوار: بيان بدل

كيف تدعم-ين الحوار المتمدن واليسار والعلمانية على الانترنت؟

تابعونا على:

الفيسبوك

التويتر

اليوتيوب

RSS

الانستغرام

لينكدإن

تيلكرام

بنترست

تمبلر

بلوكر

فليبورد

الموبايل

كيفية إشراك-إيصال مواضيعكم أو مواضيع تهمكم  إلى اكبر عدد ممكن من القراء والقارئات