اللامساواة الاقتصادية وطرق قياسها.

محمد باليزيد

الحوار المتمدن-العدد: 3395 - 2011 / 6 / 13 - 18:27
المحور: الادارة و الاقتصاد
    

I) مقدمة.
II) تقديم مؤشر هوفر(Hoover).
III) إعادة صياغة مؤشر هوفر(Hoover).
IV) برهنة ونقاش التعريفات المقدمة.
V) مقارنة بين مؤشر هوفر ومعامل جيني(Gini).
IV) خلاصة.
قبل الدخول في الموضوع أود أن أثير انتباه القارئ العزيز إلى أن صفحة الحوار المتمدن لا تقبل (أو لا أعرف كيف أدخل لها) الصور والرسومات. لذلك على القارئ أن يستخرج المقال (مع نصه الفرنسي) كاملا من الرابط: http://www.4shared.com/file/ZpmG2_d0/___.html?

كما أرى أنه يستحسن، قبل قراءة مقالي هذا، أن يكون القارئ قد قرأ المقال: "منحى لورونز ومعامل جيني: شرح وبرهنة"على الرابط:
http://www.4shared.com/document/ZYtYBV5V/Courbe_de_Lorenz_et_coefficien.html?
. فيما يلي سأشير إلى هذا المقال ب المقال1 كلما احتجت الإشارة إليه.
I) مقدمة.
إن كثرة وتنوع طرق ومؤشرات قياس هذه المسألة، معامل جيني (Gini)، مؤشر تل (Theil)، مؤشر هوفر(Hoover)، le rapport interquintile, le rapport interdécile, la variance logarithmique..... إن كل هذا يجعلنا أمام صعوبة في الاختيار: ما هو المؤشر الأكثر فعالية؟ ما هو الأسهل؟ ... لقد أجاب بعض الاقتصاديين على هذه الأسئلة كما يلي:
_ إن أحسن طريقة لقياس اللامساواة هو معامل جيني.
- إن أسهل طريقة لقياس اللامساواة هو مؤشر هوفر.
لكن، وكما سبق وأن أشرنا في مقال سابق إلى أن الفائدة الكبرى، بالنسبة لكل قارئ كيفما كان مستواه، تكمن في أن يقرأ أشياء موضحة ومبرهن عنها (1) فإننا سنبذل مجهودا هنا كذلك من أذل ذلك. في هذا المقال سأعالج مؤشر هوفر وأحاول مقارنته بمعامل جيني.. هذه المقارنة، بين المؤشرين(2) ستكون لها فائدتان:
- أولا ستمكن القارئ من اختيار المؤشر الأنسب إلى هدفه.
- ثانيا ستساعده على أن لا ينظر إليهما كشيئين الواحد غريب عن الآخر ولا علاقة بينهما.
II) تقديم مؤشر هوفر.
في الصفحة الإلكترونية ذات الرابط: "indice de Hoover" نجد:
[[مؤشر هوفر هو الأسهل من كل مؤشرات قياس اللاتساوي في الدخل.
إنه يساوي النسبة من الدخل الكلي للمجتمع التي يجب إعادة توزيعها، تأخذ من نصف المجتمع الأغنى لتعطى لنصف المجتمع الأفقر، كي تكون هناك مساواة تامة.
مبيانيا يمكن تمثيله بالمسافة القصوى التي تفصل، عموديا، بين منحى لورونز وبين المستقيم، ذو الزاوية 45 درجة، الذي يمثل منحى التوزيع في مجتمع متساوي كليا.
صيغته هي كما يلي: مع هي على التوالي( من اليسار إلى اليمين) عدد أسر المجتمع، دخل الأسرة رقم (i)، عدد أفراد الأسرة (i)، الدخل الكلي للمجتمع ثم العدد الكلي لأفراد المجتمع.
III) إعادة صياغة مؤشر هوفر(Hoover).
ما دمنا سنقارن هذا المؤشر مع معامل جيني، فذلك يتطلب منا أولا أن نضعهما "على نفس الطاولة". هذا الوضع "على نفس الطاولة" سيسهل علينا كذلك مناقشة والبرهنة على ما أتى في الصفحة الإلكترونية المذكورة أعلاه. فماذا نقصد به؟
المحددات (les paramètres) المستعملة في مؤشر هوفر هي كما أشرنا ، في حين أن معامل جيني (المشار إليه ب G) معرف انطلاقا من منحى لورونز كما يلي:
Fig:1 الشكل مأخوذ من موسوعة (Wikipédia) الصفحة (Courbe de Lorenz)

ولأن لأنهما معا يمثلان نصف مربع طول ضلعه 1، سنجد:
معالجتنا في المقال1 أوصلتنا إلى أن:
أي أن:

على أساس أن هو نسبة الفئة (i) إلى كل المجتمع و هو نسبة دخل هذه الفئة إلى الدخل الكلي للمجتمع. لكن تجدر الإشارة إلى أن هذه و ليست هي المعتمد عليها (مباشرة) لرسم منحى لورونز. إن هذا المنجى يرسم ب و بحيث: أي و . هي النسبة التراكمية للفئات و النسبة التراكمية للدخول. ما هي إذن العلاقة بين محددات كل من المؤشرين؟ انطلاقا من الكيفية التي حددت بها محددات مؤشر هوفر نستطيع أن نكتب: . مع اعتبار كل أسرة فئة بعينها. كما يمكن، كما أشرنا في المقال1 أن ندفع بالتحليل إلى درجة كل فئة(أو أسرة بالنسبة ل Hoover ) مكونة من فرد واحد، انظر في المقال المذكور مزايا ذلك. انطلاقا من هذا، إن صح، نستطيع أن نعطي H الصيغة التالية:
IV) برهنة ونقاش التعريفات المقدمة.
قبل كل شيء علي أن أظهر ما أعتقده خطأ بسيطا، تعبيريا أو رياصياتيا، في التعريف المقدم. [إنه يساوي النسبة من الدخل الكلي للمجتمع التي يجب إعادة توزيعها، تأخذ من نصف المجتمع الأغنى لتعطى لنصف المجتمع الأفقر، كي تكون هناك مساواة تامة.] لقد سطرت على كلمة نصف لأنه فيها يكمن ما أقصد. ذلك أن التوزيع السيئ للدخل غالبا ما يكون على حساب أغلبية ولصالح أقلية وليس النصف والنصف. إن التوزيع السيئ يكون أقرب إلى التمثيل رقم 2 من التمثيل رقم 3


سوف نبرهن فيما بعد على المتساوية: . بهذا التصحيح سيكون التعريف متطابق مع الصيغة وسنحصل على: أو . هذه المتساوية، رغم ظهورها بديهية، علينا البرهنة عليها.
أما التعريف الثاني فيقول: "مبيانيا يمكن تمثيله بالمسافة القصوى التي تفصل، عموديا، بين منحى لورونز وبين المستقيم، ذو الزاوية 45 درجة، الذي يمثل منحى التوزيع في مجتمع متساوي كليا." من الشكل التالي نستنتج، حسب التعريف أعلاه، أن .
هناك سؤال أولي لا بد منه: هل هذه المسافة القصوى موجودة وإن وجدت هل هي تُحقَق فقط في نقطة واحدة؟ بالنسبة للوجود فهو مضمون مادام: .
لدينا و لنأخذ الشكل2 مع تحسينه قليلا. j هو أفصول النقطة التي يتقاطع فيها المنحيان . هذه النقطة هي الحدود بين الفئة المستفيدة (كل الأفراد الذين لهم دخل يفوق المتوسط) والفئة المتضررة(أو على الأقل غير المستفيدة). ومن هنا نحصل على: و إذن ستكون المسافة (d) هي: الخطان I اللذان هما الدالة القيمة المطلقة يحيطان بكل العبارة. إذن يمكن أن نكتب:
لنأخذ . لقد قلنا بأنه بالنسبة ل i أصغر أو يساوي j فإن هذا الحد سالب. و بالنسبة ل i أكبر من j فإن هذا الحد موجب. إذن المجموع سيبقى متزايدا ما دام هناك تراكم القيم السالبة داخله: لكنه سيبدأ بالتقلص بمجرد تدخل القيم الموجبة ل . إذن المسافة d تحقق قيمتها القصوى في J وفيه وحده. إذن: وما دمنا نقف عند النقطة j ولا نتجاوزها يمكننا أن نكتب: فما علاقة d ب H؟ لدينا و إذن .
لكننا قلنا بأن H يساوي كذلك C و D. ما هي العلاقة بين المسافة d وبين C و D اللذين هما مساحتان؟ الإجابة على هذا السؤال تتطلب منا أن نحسب C تحليليا (analytiquement). من الشكل5 نستنتج: . وكما قلنا في المقال1 فإن هذه الصيغة ليست سوى "تجميعا متصلا" (somme continue). لكن مجالنا هنا، الاقتصاد، معطياته غير متصلة (discontinues). لذلك علينا تحويل الصيغة من متصلة إلى غير متصلة. سنحصل على: . لأنه في غير المتصل يكون وما دام إذن القيمة موجبة ونكتب إنها تماما قيمة المسافة d. وبنفس الطريقة نبين أن D=d.
V) مقارنة بين مؤشر هوفر ومعامل جيني(Gini).
لنبدأ الآن المقارنة بين المؤشرين. لقد قال البعض أن أحسن طريقة لقياس اللامساواة هي معامل جيني، فأين تتجلى ميزاته؟ بالنسبة لي شخصيا أرى هذه الميزات في نقطتين:
*) معامل جيني ينسب القيمة 0 لتوزيع متساوي (بالمطلق) والقيمة 1 لتزوزيع لامتساوي (بالمطلق). (3)(4)
**) معامل جيني لا يكتفي بكشف اللامساواة كميا، ولكن نوعيا كذلك. لننظر في هذه النقط.
يجب أن نذكر أولا أننا سنستعمل المعطى الذي شرحناه وبررناه في المقال1
*) أ) في توزيع متساو بالمطلق، نجد أن و لكل i. وبسهولة سنجد أن .
ب) في توزيع غير متساوي بالمطلق يكون لدينا: سنجد أن أي . هذا المقدار الذي سيقترب من واحد كلما كان العدد n كبيرا.
لماذا يجب أن يكون العدد n كبيرا كي يقترب H من 1؟ المستفيد هو شخص واحد والمتضررون هم الباقي من المجتمع. نسبة 1 إلى الكل ستصغر كلما كبر العدد الإجمالي والبتالي ستكبر نسبة الاستغلال. فمثلا إذا أخذنا n تساوي 2 فهذا معناه أن نصف المجتمع هو من يستفيد على حساب النصف الآخر. فرق كبير بين هذا وأن يكون 1 يستفيد على حساب 99.
**) للتمييز "نوعيا" بين اللامساوات سنأخذ مثالين للتوزيع كما يلي:
ا) في هذه الحالة الفئة رقم n تستفيد وعلى حساب فئة واحدة هي ذات الرقم1.
ب) في هذه الحالة يبقى المقدار الذي تستفيد به الفئة رقم n هوهو لكن هذه المرة يتم ذلك على حساب باقي الفئات الأخرى بالتساوي. من وجهة نظر أخلاقية يمكن اعتبار التوزيع 1 أكثر حيفا مادام ذلك يتم على حساب فئة واحدة. يجب إذن أن نجد . وهذا بالفعل ما سنجد لأن و فماذا عن H؟
أي
يجب التمييز بين [..] وبين I..I الذي هو للقيمة المطلقة. أي . مؤشر هوفر إذن غير قادر على أن يميز بين الحالتين، غير قادر على أن يشير إلى نوعية اللاتساوي(5)
VI) خلاصة.
إن سهولة حساب H (de Hoover) تفرض علينا ضياع معلومات وهو كما رأينا عدم التمييز بين المثالين السابقين. الآن وقد اتضح للقارئ الفرق يستطيع أن يختار المؤشر الأنسب إلى هدفه.
الهوامش:
1) إنه لأمر غريب أن يقدم شخص ما أشياء صعبة الفهم، كما في الصفحة الإلكترونية « Fonction de bien-être » ، دون أن يوضح ذلك أو يبرهن عليه. بالإضافة، وهذا يمكن أن يكون فقط نتيجة عدم فهم مني، فإنني لا أرى فائدة تعادل المجهود الذي به سنحسب الصيغة المقترحة. إليكم ما تقوله تلك الصفحة:
[[ يمكن حساب دالة العيش الكريم [bien-être welfare ] المقترحة من طرف ( Amartya Sen et James A. Foster) (1996) بالصيغة التالية:
]] لماذا كل هذا تهراس الراس ؟ (casse tête) الجواب سوف يفهم غير بعيد حين نجد في نفس الصفحة ما يلي: [[ إن قيمة/قدر (La valeur) دالة العيش الكريم دائما أصغر من الدخل المتوسط.]] إن اللعبة الإديولوجية هنا بليدة، إن أبسط طالب في الرياضيات يستطيع أن يحدد مسبقا قدرا معينا، مثلا ربع الدخل المتوسط، ثم بعد ذلك يركب صيغة رياضية معقدة تتضمن دوالا مثل (logarithme, exponentiel, sinus….) بحيث تكون نتيجة الحساب، بعد كل تهراس الراس ، هو ما حدد سابقا، ربع الدخل المتوسط. أما دور كل ذلك التعقيد فهو فقط ليوهم القارئ بأن "المسائل علمية".
2) نلاحظ أن هوفر سمى ما حدده مؤشرا (indice) وجيني سماه معاملا (coefficient). لماذا هذا الفرق في التسمية ونحن أمام "كائنين رياضيين" قابلين للمقارنة (من نفس الطبيعة)؟
3) مثلا مؤشر تل (Theil) يعطي القيمة 1 لتوزيع حيث: 82,4 % من المجتمع تحصل على 17,6 % من الدخل و17,6 % من المجتمع تحصل على 82,4 % من الدخل.
4) يتكلم جيني عن اللاتساوي المطلق حيث يكون في المجتمع سيد واحد يحتكر كل الموارد وكل الآخرين بمثابة عبيد له وليس أجراء.
5) رغم أن المؤشر ليس سوى مقدارا/عددا لا بعد له، فإننا نتكلم عن تمييزه كيفيا للاتساوي.
6) لقد حاولت أن أضيف هذا المقال، وقبله مقال "منحى لورونز ومعامل جيني: شرح وبرهنة"، إلى صفحات الموسوعة ‘’Wikipédia’’ لكنني لم أفلح ربما لقلة معلوماتي في الإعلاميات. المرجو من كل قارئ ارتأى أن أحد المقالين أو كليهما يستحق الوضع على تلك الصفحات أن يتفضل ويفعل ذلك، نيابة عني، مشكورا. وأن يدخل التعديلات اللازمة عليهما. مثلا المقال1 فقراته غير معنونة. كما أطلب منه أن يرسل لي توضيحا لطريقة الإدخال عبر البريد الإلكتروني. [email protected]

#محمد_باليزيد (هاشتاغ)      

---

اشترك في قناة ‫«الحوار المتمدن» على اليوتيوب
حوار مع الكاتب البحريني هشام عقيل حول الفكر الماركسي والتحديات التي يواجهها اليوم، اجرت الحوار: سوزان امين	حوار مع الكاتبة السودانية شادية عبد المنعم حول الصراع المسلح في السودان وتاثيراته على حياة الجماهير، اجرت الحوار: بيان بدل

كيف تدعم-ين الحوار المتمدن واليسار والعلمانية على الانترنت؟

تابعونا على:

الفيسبوك

التويتر

اليوتيوب

RSS

الانستغرام

لينكدإن

تيلكرام

بنترست

تمبلر

بلوكر

فليبورد

الموبايل

كيفية إشراك-إيصال مواضيعكم أو مواضيع تهمكم  إلى اكبر عدد ممكن من القراء والقارئات