معلومات اولية عن المنطق الرياضي الجزء الأول

علي عبد الواحد محمد
الحوار المتمدن-العدد: 5562 - 2017 / 6 / 25 - 10:24
المحور: التربية والتعليم والبحث العلمي
    

̰̰͠ معلومات اوليىة عن المنطق الرياضي ( الجزء الأول)
علي عبد الواحد محمد
كي ندخل الى عالم المنطق الرياضي، وتداعياته علينا أن نلم بما
نسميه العبارة، والعبارة هي جملة خبرية، اي أنها جملة تحتمل الصدق
او الكذب ، لأن ناقلها اما ان يكون كاذبا أو صادقا، وبهذه الحالة فإن
المنطق الرياضي لايعتمد النوع الآخر من الجمل وهي الجمل الإنشائية.
الفرق بين الجملة الخبرية والجملة الإنشائية
وجد الباحثون إنه، إذا أراد احد ما ،أن يبتدئ الكلام،فإنه سيكون امام
خيارين، وهما ام ان يخبر عن ما شعرت به إحدى حواسه الخمسة ، كأن يقول رأيت فلانا اليوم ،اوكما قال الشاعر سمعت صوتا كالعندليب ، او تذوقت اكلا مالحا ، او شممت عطرا أخاذا ،او قماش الحرير ملمسه ناعم.
او أن يجيب عن سؤال موجها اليه، او يلبي طلبا ، فإذا تم سؤال الشخص مثلا كيف كان مزاجك البارحة؟، او يطلب من شخص أن يروي لنا ما شاهده من مسرات او أهوال في رحلته.
فالجمل من النوع الأول ،(الحديث عما شعرت به الحواس الخمسة )، تحتمل الصدق أو الكذب
بينما الجمل من النوع الثاني هي جمل محايدة لاصادقة ولا كاذبة
في المنطق الرياضي يتم إعتماد النوع الأول من الجمل وهي الخبرية فقط، ولا يتم إعتماد النوع الثاني من الجمل.
العبارات المنطقية........... ( العبارة )
ارجو من القارئ الكريم ملاحظة ما يلي
1) سيتم إستخدام كلمة العبارة او العبارة المنطقية بدلا من الجملة الخبرية
2) سيتم تسمية إحتمال أن تكون العبارة صادقة او كاذبة ب ( قيم الصدق ) أو ( قيم صدق العبارة )
3) إذا كانت العبارة صادقة يرمز لها (ص)،وفي بعض الأحيان يرمز لها (1)
4) إذا كانت العبارة كاذبة يرمز لها (ك) ، وفي بعض الأحيان يرمز لها (0)
5) العبارة اما بسيطة او مركبة
العبارة البسيطة:
هي العبارة التي تكون على شاكلة الأمثلة من النوع الأول، لنلاحظ الأمثلة التالية:
• النهر مياهه تجري
• الرجل يركض
• 3+5= 90
• ضحكنا كثيرا
هذه العبارات اما (ص) أو (ك)
تمثيل العبارة بالرمز
تميل الرياضيات دائما الى التجريد والى الإختصار ، فبدلا من ان نسطر عبارة كاملة، نرمز لها بحرف معين، وبالمناسبة ، فإن احدى التفسيرات عن سبب تسمية علم الجبر بهذا الإسم، يقولون " سمي الجبر جبرا لأنه يجبر الحرف للتعويض عن رقم أو عن عبارة او غيرها "
فنستطيع القول مثلا " لتكن العبارة جاء الرجل ماشيا = م " فالحال هنا إننا نستطيع ان نعبر عن كل عبارة، بأحد الحروف الأبجدية بعد ان نشير اليها هكذا " نفرض إن العبارة...........=ع مثلا "
من هنا نقول العبارة م اما ص أو ك. وتقرأ العبارة م اما صادقة أو كاذبة.
نفي العبارة
ما دمنا نتحدث عن المنطق ،فإن الإثبات والنفي هما طريق المنطق في البحث عن الحقيقة.
وعليه يكون نفي الموجب سالبا ونفي السالب موجبا
أي أن نفي الصادق يكون كاذبا
ونفي الكاذب يكون صادقا.
وعندما يتم نفي العبارة المطلوب نفيها ، في اللغة نستخدم ادواة النفي (لا ، لم ،لن، ليس، ما...وهكذا ) اما عند إستعمال الرموز فنستخدم الرمز ( ~ ) للدلالة على النفي وفي بعض الكتب يستخدم (-) لذلك.
فإذن نفي العبارة م هو ~م
وكذلك نفي ص التي هي ~ ص =ك ( تقرأ نفي صادق تساوي كاذب )
ونفي ك التي هي ~ك = ص ( تقرأ نفي الكاذب تساوي صادق )
العبارة (العباراة ) المركبة
هي التي تتكون من عدد من العباراة المربوطة مع بعضها البعض بأدواة ربط العبارة.
ما يزال هذا التعريف مبهما ويحتاج الى توضيح ما يلي:
1) ادوات ربط العبارة محدودة ولكل اداة حكمها المنطقي
2) تسمى كل عبارة مربوطة مع عبارة اخرى او عبارات اخرى " عبارة جزئية "
3) في الحديث التالي سنكتفي بتوضيح العبارات المركبة ذات العبارتين الجزئيتين، لكي يتم فهم الموضوع بشكل أفضل.
أنواع العبارات المركبة:
أولا العبارةالمركبة " الضم "
وهي العبارة المركبة التي تكون عباراتها ( عبارتاها) الجزئىة ( الجزئيتان ) مربوطة (مربوطتين)، بأداة الربط الواو الضامة.
مثال : يمشي الرجل والكلاب تنبح عليه.
في هذا المثال لدينا عبارتان جزئيتان هما
الأولى : يمشي الرجل
الثانية : الكلاب تنبح عليه
وبينهما اداة ربط هي الواو
كيف نعبر عن هذه العبارة بالرموز
إن اداة الربط ( الضم )، اي الواو يرمز لها بالرمز ( Ʌ )
نفرض العبارة يمشي الرجل = م
نفرض العبارة الكلاب تنبح عليه = ل
فإن يمشي الرجل والكلاب تنبح عليه = م Ʌ ل
يكون لدينا دائما العبارة المركبة الضم (Ʌ) دائما على شكل مɅعɅج وهكذا
قيم صدق العبارة الضم (و)
يتم بحث قيم صدق هذهالعبارة المركبة ، من خلال بحث قيم صدق عباراتها الجزئية معا. فلو عدنا لمثالنا السابق نلاحظ ما يلي:
يمشي الرجل قيم صدقها اما صادقة او كاذبة
الكلاب تنبح عليه قيم صدقها نفس الشئ صادقة او كاذبة
ولكن إذا كانت :
1) العبارة الأولى صادقة والعبارة الثانية صادقة ايضا
2) العبارة الأولى صادقة والعبارة الثانية كاذبة
3) العبارة الأولى كاذبة والعبارة الثانية صادقة
4) العبارة الأولى كاذبة والعبارة الثانية كاذبة
إذن لدينا الإحتمالات الأربعة فقط
فتكون العبارة الضم صادقة في حالة واحدة فقط التي هي الحالة:
يمشى الرجل و الكلاب تنبح عليه
لنلاحظ هذة الإحتمالات
يمشي الرجل و الكلاب لا تنبح عليه ...........كاذبة
يركض الرجل والكلاب تنبح عليه................كاذبة
يركض الرجل والكلاب لا تنبح عليه............كاذبة
إذن تكون قيم الصدق للعبارة الضم حسب الجدول التالي:
م ل مɅل
ص ص ص
ص ك ك
ك ص ك
ك ك ك

نفي الضم
نفي الضم يتم من خلال نفي قيم الصدق حسب الجدول التالي:
م ل مɅل ~ (مɅل)
ص ص ص ك
ص ك ك ص
ك ص ك ص
ك ك ك ص

ثانيا : العبارة المركبة ( العطف):
وهي العبارة المركبة التي تكون عباراتها الجزئية مربوطة بأداة الربط ( أو)
مثال : يستحوذ الرأسمالي على الأرباح أو المدن مكتظة بالناس
1) العبارة الجزئىة الأولى هي : يستحوذ الرأسمالي على الأرباح
2) العبارة الجزئية الثانية هي: المدن مكتظة بالناس
وبينهما اداة الربط ( او )
نرمز الى العطف (أو) بالرمز (V)
وإذا فرضنا إن العبارة الجزئية الأولى=م
وإذا فرضنا إنالعبارة الجزئية الثانية=ل
فإن العبارة :يستحوذ الرأسمالي على الأرباح او المدن مكتظة بالناس = مVل
قيم صدق العبارة العطف( أو):
تكون الضم صادقة ، إذا كانت إحدى العبارات الجزئية أو كلها صادقة، وتكون الضم كاذبة، إذا كانت كل عبارة من عباراتها الجزئية كاذبة. لنلاحظ الجدول التالي:
ل م لVم
ص ص ص
ص ك ص
ك ص ص
ك ك ك
نفي عبارة العطف (~V):
لاحظ الجدول التالي:
ل م لVم ~(لVم)
ص ص ص ك
ص ك ص ك
ك ص ص ك
ك ك ك ص
إنتهى الجزء الأول ويليه الجزء الثاني

كيفية إشراك-إيصال مواضيعكم أو مواضيع تهمكم  إلى اكبر عدد ممكن من القراء والقارئات