ماجد جمال الدين
الحوار المتمدن-العدد: 3703 - 2012 / 4 / 20 - 16:51
المحور:
الفلسفة ,علم النفس , وعلم الاجتماع
P.S. لا أدري إن كان هذا الجزء يستحق القراءة !!
ألرياضيات وألفلسفة 5
ماجد جمال ألدين أحمد
قبل أن أستطرد أريد أن أضع أمام ألقارئ سؤالين مُهمّين لكي يتفهم غرضي من وراء هذه ألمقالة كلها ، ألسؤال ألثاني سأحاول أن أجيبه مباشرة ، أما ألسؤال ألأول فهو بشكل عفوي وجانبي يعبر عن لب وجوهر ألمقالة وقد نجد مدخلا للإجابة عليه فقط في نهايتها :
1. هل تعتقدون أن ظهور أنواع ألمدارس ألسوريالية ألتجريدية في ألفن وألأدب ( بيكاسو ، برخت ، كامو وكافكا ألخ ) كان مجرد تطور عبثي للمدارس ألجمالية ألسابقة لها ، ومنفصل عن ألتطور في باقي ألمعارف ألبشرية وألعلوم ألرياضية بألخصوص .. وعن تطور ألعقل ألبشري ذاته ؟ ( مع ملاحظة أن ألقضية ليست في ألمبدع فحسب بل في ألناس ( ألجماهير) ألتي تستلهم وتتفهم هذا ألإبداع ألجمالي ) .. هل يمكننا تتبع تطور ألعقل ألإنساني ، أي ملاحقة سيرورته وألتنبؤ بصيرورته أللاحقة ؟
2. برأيكم أيهما أصح ألقول : ألإكتشافات ألرياضية أم ألإختراعات ألرياضية ؟
وضع فيرما مسألته العظمى وقال لصديقة أنه لقي لها برهانـا رائعا ولكن لاتكفي أوراق ألرسالة لكتابته .. ألعالم العظيم نيكولا فيرما موضع ثقة ألعلماء حتى أليوم فلم يجدوا كلمة خائبة له ,, أن قال هذا شيء برهنتُه فهو صحيح وأما إن كان يشك في دقة ألبرهان فيكتب ذلك أيضا .. اوراق فيرما ضاعت في غياهب ألتاريخ وبقيت تلك ألرسالة ألمؤرخة في سنة ... وألرسالة تؤكد أنه بمعلوماته ألرياضية ألكلاسيكية آنذاك إيجاد ألبرهان لمسألته :
" لاتوجد حلول للمعادلة ألديوفانتية Xn + Yn= Zn ; n > 2 "
( .. كتابة Yn تعني أن ال n أس و Y أساس ، أي Y مرفوعة للأس n ,, عند إستعمال ألوورد لا أعرف كيف أضع ألأس أعلى قليلا حتى يبدو بشكله ألطبيعي ألمعتاد في كتابة ألمعادلات ألرياضية ) ( و من الواضح أنه إذا كانت n = 2 فالحل موجود بل لا نهاية من ألحلول موجودة ، مثلا ، Z=5 , X=4 , Y=3 أو 13 = X= 5 , Y=12, Z وكذا كل مضعفات هذه ألأعداد وكسورها .. )
هذه ألمسألة البسيطة !! ألهبت ذهن ألعلماء لقرنين من ألزمن ,, عشرات آلاف ألرياضيين ومئات ألآلاف من ألهواة ( من هواة الشهرة وخلود ألإسم أو من ألطامعين بألجائزة النقدية ألتي رصدها أحد ألأغنياء في ألقرن ألتاسع عشر لمن يحل هذه المعضلة ) .. عشرات ألأكاديميين ومئات الكتب ألرائعة ألمخصصة لحلول وتحليل مسألة فيرما ألأخيرة وتفرعاتها وتشعبات إرتباطها بباقي ألعلوم ألرياضية ( ألمسألة تتعلق بألأعداد ألبسيطة ألكبيرة ونظرية تشفير ألمعلومات ألخ ) وربما آلاف ألكتب ألتبسيطية ألجميلة ألتي توسع مدارك إن لم أقل حتى تلميذ ألإبتدائية فعلى ألأقل تلاميذ ألمتوسطة والثانوية ( وأرجو من غواة ومعلمي ألرياضيات أن يستفيدووا منها ) .. وألمسألة لم تحل .. حتى جاء عام 1997 كما أذكر وأوجد ألحل عالم رياضيات ياباني واستند في حلوله على نتائج سبقته ببضع سنوات من عالم روسي ، شاب أيضا نسبيا ,, ألإثنان بألآخر تشاركا في ألجائزة النقدية ...
المهم ليس هنا بل في أن ألحل الذي إعتمدوه لايمكن صياغته وفق ألرياضيات ألكلاسيكية السابقة بل يتم من خلال طرائق معقدة ومفاهيم رياضية جديدة تماما ، مستحدثة ولا يمكن بأي حال أن يكون إعتمدها فيرما نفسه في برهانه ( إن وجد حقيقةً ذلك ألبرهان .. بألرغم من أن صحة كلمات فيرما تحققت بألفعل . )
هل ألعالمان ألروسي والياباني ، بل وبألطبع فيرما نفسه قاما بإكتشافات رياضية أم إختراعات رياضية ؟
ألسؤال قد يبدو غير واضح ولذا سآتي بمثال آخر يبدو حياتيا بسيطا جدا ,,
ولكن قبلها خطرت لي فكرة أن أقول قبلها ما يلي : آلاف وملايين الطلبة يدرسون نظرية ألمصفوفات matrix ويعلمون جيدا معنى ديترمينانت ألمصفوفة و ألمعادلة ألأساسية لها( دالة ألمصفوفة ) وكل ألعمليات الحسابية على ألمصفوفات وألتحويلات وألمفاهيم المرتبطة بها ألخ ألخ وأعم ألمجالات لإستعمالاتها ألنظرية ألبحتة والتطبيقية ألفيزياوية والهندسية ألخ .. ولكن ربما كل واحد من مائة ألف من ملايين ألطلبة والباحثين يتوجه نظره ألى مساحة ضيقه هنا ويغرف علم أل بيرماننت وهو جزء من طرائق ألحساب في ألمصفوفات رغم أنه نشأ في بدايات ألقرن التاسع عشر .. وطبعا هنالك قلائل من ألباحثين تقودهم ألضرورة ألتطبيقية لدراسة وأستعمال أساليب حساب ما يسمى بألمصفوفات ألفارغة ( ألمصفوفات ألضخمة جدا بعناصر من ملايين فما فوق ولكن أغلب هذه العناصر صفرية ) أودراسة ما يسمى حساسية ألغاريتمات ألحساب ألرياضي للمصفوفات .. هنا وددت ألقول أن علوم ألرياضيات واسعة جدا بشكل يفوق ألتصور البسيط وهذا ما سنؤكده بعد قليل بشكل آخر .. بعد أن نرجع من ألمثال :
ماذا تعرفون عن ألخرائط الجغرافية ... أو بشكل أقرب ألصحف ألتي تشترونها ؟ عندما تشترون خريطة كبيرة ألحجم ألبائع يطوي لكم هذه ألورقة عدة طيات حتى تستطيعون مسكها بشكل مناسب .. ثم تذهبون للبيت وتفتحون ألخريطة لتنظروا مثلا أين تقع ألعوجة ومن ثم تعيدون طي ألخارطة لوضعها على الرف ,, أوف لم يحصل أن طويناها بنفس ألشكل ألذي طواها به ألبائع !!!! ؟؟؟ ـ ألحقيقة أن هنالك إحتمال ضئيل لطيها بنفس ألأسلوب ..
هنالك مسالة رياضية عويصة تسمى مسألة طي الخريطة .. فخذوا أي خريطة ،، أخ لاداعي أن أتعبكم ففي بيوتنا الشرقية لا نهتم بألخرائط كثيرا ولا نعلقها على ألجدران ,, ولذا خذوا أي ورقة من دفتر عادي ,, ومسطرة وقلم وأرسموا عليها بمسافات متساوية خطوطا متوازية عمودية وأفقية .. فلنفترض عدد ألخطوط ألعمودية n وألأفقية m وبذا تتكون لنا
(n+1 ) * ( m+1 ) من ألمربعات ( أو المستطيلات ) على ألصفحة ألأمامية ( ومثلها على ألصفحة ألخلفية للورقة نستطيع مشاهدتها بمجرد وضع ألورقة أمام الضوء أو برسم الخطوط مجددا هنا ) سنرقم هذه ألمربعات ، للسهولة نستعمل فقط ألأرقام ألفردية على ألصفحة ألأمامية وألزوجية على الجهة ألأخرى ..
لنبدأ من n=1 و m=0 أي هنالك خط واحد يقسم الورقة إلى نصفين وبذا تتكون لنا مستطيلين على كل صفحة ,,
حين نريد أن نطوي ألورقة حول هذا ألخط ألذي رسمناه كمحور .. يمكن طي ألورقة بأسلوبين مختلفين ..
إجعلوا n=1 و m=1 ,,أي عدد ألمربعات ( أو ألمستطيلات ) على ألصفحة ألواحدة =4 ، ( ألمجموع على ألجهتين =8 ) وجربوا طي ألصفحة حول كل خط (أي حتى تصل ألمساحة ألكلية ألمنظورة للورقة إلى مساحة ألمستطيلات ألصغيرة .. ) ..
كم من ألأساليب ألمختلفة يمكن طي هذه ألورقة للوصول إلى ألنتيجة ؟ .. لاحظوا أن ألأساليب ألمختلفة ممكن تتبعها من خلال رؤية تسلسل ألأرقام ألتي كتبناها على ألمربعات ,,من أعلى إلى أسفل ,,
جربوا هذا وأحسبوا عدد أساليب الطي كلها تماما بدون أخطاء فقد تنسون طيها بشكل ما آخر
ثم إنتقلو إلى n=1 و m=2 ومن ثم إلى n=2 و m=2 ومن ثم إلى n=3 و m=2 وهكذا ..
أذا عملتم هذا بدقة وبدون تفريط ستصلون إلى أرقام كبيرة حدا مع أي زيادة صغيرة في عدد ألخطوط ـ محاور ألطي ,.
هل نستطيع أن نحدد عدد أساليب ألطي مقدما من معرفة عدد ألخطوط n و m ، أي بدون تجربة ألأمر ( أو نمذجة هذه ألتجربة على ألحاسوب مثلا ) .. هل يمكن إعطاء طريقة عامة (ألغاريتم ) لحساب هذا ألعدد إستدلالاً من معرفة نتائج ألتجارب ألسابقة مثلا n-1 و m أو بألإضافة لهما n-1 و m-1 و ألخ ..
للأسف مع كل تقدم ألعلوم ألرياضية فإنها لم تعطي حلاً لهذا ألسؤال ولا يوجد ألان ألغاريتم لحساب هذه ألمسألة ( ألبسيطة !!؟) ، رغم انها لا تنفي إمكانية وجود هذا ألحل ,,
وألآن ألسؤال : أذا إستطاع أحدهم أن يضع لنا طريقة عامة " ألغاريتم " لحساب عدد أساليب طي هذه ألخريطة (ألورقة ) بشكل مباشر لكل ألأعداد n , m ,, فهل سنعتبر هذه ألطريقة ـ ألألغاريتم ألجديد إكتشافا أم إختراعا رياضيا ؟ ( لا يهم طبعا إن كان أحدهم هذا عالم رياضيات أو ربة بيت جميلة ولها عشرة أطفال " أم بطلة " أو شاب مريض بألتوحد )
سؤالنا قد يبدو مربكا للذهن أو لا طائل من ورائه ،، ( أووووه ما ألفرق إختراع .. إكتشاف .. طز كلُه واحد ألمهم النتيجة ) ولكني لا أتراجع وأشدد ألفكرة : هل سؤالي مجرد سفسطة أم فلسفة حقيقية خلقتها ألرياضيات ؟
ألقضية أنه منذ نهاية القرن التاسع عشر وخصوصا بعد أعمال جيوديل أخذنا ننظر للرياضيات كعملية إختراع وخلق جديد وليس مجرد إكتشاف لأشياء كانت قائمة مثالياً أفلاطونيا .. وهذا دفع بألرياضيات خطوات أخرى هائلة إلى أمام .. وبثلاثة أتجاهات :
1. علماء ألرياضيات أخذوا يستعيدون ألنظر إلى " فروع " الرياضيات ألقديمة ( ألجبر والهندسة والطوبولوجيا وعلم ألقياس ومفهوم ألمسافة ، نظرية ألأعداد وعلوم البرهنة الرياضية ، علم ألتناسق ، نظرية الكراف ـ لا أعرف كيف يترجم مصطلح Graph في كتب ألرياضيات ألعربية فعذرا ـ وألشبكات ، نظرية ألإحتمالات ونظرية ألألعاب ، علم ألبرمجة ألرياضية ـ للأسف ألتسمية هنا مُخادِعة فهذا ألعلم ابعد ما يكون عن مفهوم البرمجة بمعناها ألمعتاد ـ ، ، .. ألخ ألخ وهذه كلها لها فروع متباعدة ضخمة .. ) .. ويعيدون صياغة مرتكزاتها ألأولية " إفتراضاتها ومفاهيمها ألأساسية بشكل جديد يتلائم مع ألتطور ألحاصل وغالباً ما يبدلون جوهريا في " ألبديهيات " ألتي إنطلقت منها بإعتبار أن ألأخيرة كانت " إعتباطية " نوعاُ ما وتحتاج لتدقيق شامل .. ( على غرار هدم وإعادة بناء ألمبادئ ألأساسية للحساب ألبسيط ) .. كل هذا أدى لنمو ثوري في هذه ألعلوم ألرياضية بحيث أن ألباحث ألرياضي هنا لا يشعر أن عليه أن يكتشف شيئا ما بل أن يخترع إضافة جديدة ضمن ألنسق ألذي تتيحه ألإفتراضات ألأولية ..
2. مع تأكد ألعلماء من " عبثية " ألإقتراضات ألأولية فإن علماء ألرياضيات أصبحوا أحرارا من وضع أي إفتراضات تناسب ألمسألة ألفيزياوية ( أو ألإجتماعية ألخ ) ألتي يواجهونها وبناء هيكل رياضي جديد يتم من خلاله إيجاد ألحلول ألتطبيقية لتلك ألمشاكل .. وهذا بألطبع يحتاج لتجميع عدد من ألنظريات ألرياضية ألمختلفة بحيث يتم تجميع وإعادة صياغة بعض إفتراضاتها ألأولية وألإستفادة من مختلف ألأساليب وألألغاريتمات ألتي توصلت لها ، وكذا ألإستفادة المباشرة من كل ألمعارف ألإنسانية ( وألجمالية وألفلسفية ضمنا ) ألتي لم تكن سابقا مؤطرة بشكل رمزي على هيئة أللغات ألشكلية .. ووضع كل ذلك في أطر جديدة ..
من أبسط أمثلة هذا ألإتجاه ما يسمى بنظرية الكوارث ألتي هي بألحقيقة إعادة نظر في مفاهيم ألإسقاط ألهندسي من ألفضائات الثلاثية على ألمستوي وإستعمال ذلك لدراسة بعض ألأنظمة ألعضوية وألظواهر ألإجتماعية مثلا .. ،أو نظرية ألأنظمة المعقدة ، أو نظريات ألكسورية ألتي تستعمل ألآن في صناعة الصور ألطبيعية بأسلوب عشوائي ( بألفوتو شوب ) أو نظرية ألسبلاين لإستقراء مسير الدوال وضغط ألمعلومات وألعمليات التنبؤية المختلفة . أو ألكيبرنيتيكا في مجالاتها ألمتعددة . ولكن هنالك أمور معقدة هنا أكثر مثلا نظرية المعلومات ألنوعية ، أو حول ألعلوم ألتي تخص ألألغاريتمات ألمتوازية وألمنطق ألمتعدد ألأبعاد ألخ وعلم ألشبكات ألعصبية والحرارية .. وهذه كلها بألأغلب في إفتراضاتها ألأولية تنطلق من أفكار لم تكن جاهزة رياضيا قبلا .. بل تُشكل من علائق معروفة بشكل تشبيهي أو حتى سفسطي (من كلمات تبدو منطقية ولا تعبر بدقة عن شيء أو هدف معين ) معتمدة على إمكانية مراجعة لاحقة لإعادة صياغة إفتراضاتها ألأولية .. ويمكن أن تدخل ضمن ألإتجاه ألثالث ألذي سنتحدث عنه أسفلا ,,
هنا يهمنا القول أن ألباحث ألرياضي وأي إنسان أصبح يفكر أنه لمواجهة أي معضلة أمامه يستطيع تركيب أنموذج تجريدي لمسألته بوضع معطياتها كرموز شكلية ومن ثم ألبحث عن علائق هذه المعطيات ومدى ترابطها وتمثيل هذه ايضا برموز شكلية ، ومن ثم محاولة إيجاد تماثلات وتشابهات هذه النماذج مع سابقات من المعضلات المقاربة لإيجاد ألحلول أولا بشكلها الرياضي من خلال ألإستفادة ضمنا مما سبق من ألتجربة الرياضية الموجودة في ألكتب ,, ألإقتصادي وعالم ألنفس وعالم ألزراعة وألري وعالم ألحشرات ودارس ألتاريخ وألموسيقى وألطبيب وألصيدلي ألخ الخ وربة البيت ايضا اصبحوا يفكرون بهذا ألإتجاه ..
3. في خضم عملية ألإختراع والخلق ألإبداعي هذه تنشأ أحيانا فكرة تبدو جديدة تماما وكأن لا علاقة لها مباشرة من ألتطورات الحاصلة ، ولكنها هذه الفكرة تصبح مرتكزا ومنطلقا لعلم رياضي ذو منهج جديد .. بشكل قد يقلب تماما " ألبديهيات ألعامة " ألمتوارثة . على سبيل ألمثال ما يسمى non standard analyses يقلب بعض مفاهبم ألتحليل ألرياضي ويجعل عبارة ألتكامل وألتفاضل للدالة المستمرة تختلف في معناها لأنه لا يعتمد أولا على التناسب ألخطي لتغير ألدالة بل يفترض أساسا أنه إذا أعتبرنا الدالة مستمرة فلنفرض مباشرة أن لها مشتقات إلى ما لانهاية و من ألممكن ألإنطلاق راسا من ألتناسب أللاخطي مثلا ألمشتقة ألثانية والثالثة بدون ألمرور بألمشتقة ألأولى أو إستنتاجها بعدئذِ ! أو ألرياضيات ألمائعة ألتي رغم بساطة فكرتها في نشأتها ألأولية عام 1971 قلبت مفاهيم ألمجموعات ألكانتورية أو ألرياضيات ألكمية ألخ وهاتين ساحاول أن أتطرق لهما قدر معارفي لاحقا ,,
أنا هنا عددت بعضا مما يخطر على ألذهن من ألعلوم الرياضية ألجديدة أوألتي أخذت محتوىً جديدا ,, ولكن ألمسألة أوسع .. ألقضية أننا أصبحنا نجد ألرياضيات في كل مكان .. أو نخلقها في كل مكان .. فقط نظريات ألإحصاء ألرياضي وطرق ألتحليل ألعواملي أو ألتحليل ألعشوائي ألمتعدد ألأبعاد نجدها في مئات ألفروع ألمعرفية من ألطب وألتشريح وألأغشية ألخلوية ألرقيقة إلى علم التربة وإلى ألنظريات ألتربوية للأطفال في ألمدارس ومنها إلى ألتحليل ألتاريخي وألأنثروبولوجي وحتى ألتحليل الجمالي للنصوص ألأدبية ..
وفي كل من هذه تختلف جزئيات وألغاريتمات ما نسميه عامة ألإحصاء ألرياضي فتتشارك ضمن مكوناته في ألإطار ألتطبيقي ألمعين ليس فقط نظرية المصفوفات وألمقابلات ألتبادلية أو نظرية ألإحتمالات ونظرية الدوال ألإسترجاعية ألخ وبألطبع أنواع ألطرق وألغاريتمات ألحساب على الكمبيوتر .. بشكل يرجح تسمية جديدة له ـ ألنظرية ألعامة للجمال ألموسيقي مثلا !! وتكوّن لها إفتراضات شكلية أولية على غرار ألبديهيات ألسابقة ، ليتم بناء هذا ألعلم عليها .. وإذا لم تعجب أحد ما هذا ألعلم ألرياضي ألموسيقي ألجديد ، فقد يبدل بعض ألإفتراضات ألأولية ليبني علم ألموسيقى ألقاصمة !!
( من أولى محاولات ربط الرياضيات بالفلسفة كانت محاولة أحد عباقرة اليونان حساب الموسيقى ) .
من قرأ كلماتي أعلاه وعقله مازال دون المرحلة ألسوريالية ، فلربما لم يفهم القصد من كل هذ ألحشو وأللغو الذي سطرتُه هنا ، وسأوضح المعنى له بشكل أوفى إذا طلب ..
ألرياضيات ليست واسعة فحسب بل متشعبة في كل نواحي ألحياة ألإنسانية وتتغلغل مفاهيمها في طريقة تفكيرنا وفي مفاهيمنا " ألروحية " ..
وألقضية اننا ألآن نعي أن إختراعاتنا ألرياضية لم تبدأ في القرن ألعشرين بل ألان فقط وعينا ذلك .. أختراعاتنا ألرياضية " ألتجريدية " في حل ألمسائل ألحياتية التي واجهتنا بدأت منذ أمد بعيد وتغلغلت في طريقة تفكيرنا ووتوجيه تفاعلنا مع جوانب متنامية من ألعالم ألمحيط بنا ،، وبذا تركت تأثيرها على فهمنا " ومفاهيمنا " ألفلسفية عن هذا ألعالم ألمحيط ,, وأليوم أصبحنا نعي أن أسلوبنا ألرياضي ألتجريدي يمكن تطبيقه على باقي جوانب ونواحي حياتنا لفهمها بأشكال جديدة من ألإختراعات ألرياضية ألتي نبتكرها في عملية ألتفهم هذه , بدأنا نعي وعينا بشكل جديد , بمعنى ما : ألفلسفة أصبحت تابعا مباشرا للرياضيات .. وألرياضيات أصبحت كفكر تجريدي أضحت يوما بعد يوم تبدل عقلانية ألإنسان ..
وكما ذكرت سابقا عن مراحل تطور ألوعي البشري من ألعقل ألحسي ـ ألتشبيهي ـ ألوصفي ـ ألمنطقي ـ ألتجريدي ,هذا بألطبع لا يملكه ألآن بنسبة كبيرة إلا قلة من البشر ,, ولكن هؤلاء يزدادون بإضطراد ويزداد معدل ألناس ألذين ألذين يستعملون ألتجريدية في حل نسبة أكبر من مسائل حياتهم .. وسنرجع لهذا لاحقا ,,
وهنا أختم هذ ألجزء بألقول :
قبلا كانوا يتحدثون عن فلسفة ألرياضيات كعلم ، ألآن ألرياضيات ستشكل جوهر ألفلسفة ألإنسانية بإعتبارها أللغة ألأساسية للنظر إلى العالم ألمحيط وإستيعابه بصورة أكثر شمولية ,, أللغات ألبشرية نفسها ربما بل بألتأكيد ستتقارب فيما بينها على أسس إستعمال ألرياضيات ..
يتبع
#ماجد_جمال_الدين (هاشتاغ)
كيف تدعم-ين الحوار المتمدن واليسار والعلمانية
على الانترنت؟
|
ارسل هذا الموضوع الى صديق
|
حفظ - ورد
|
بحث
|
إضافة إلى المفضلة
|
للاتصال بالكاتب-ة
اليوتيوب
لينكدإن
تيلكرام
تمبلر
بلوكر
الموبايل
