هل تعكس الرياضيّات الواقع؟ - الجزء الثاني: تناقضات الرياضيات

علي عامر

الحوار المتمدن-العدد: 5550 - 2017 / 6 / 13 - 13:56
المحور: الفلسفة ,علم النفس , وعلم الاجتماع
    

هل تعكس الرياضيات الواقع؟
الجزء الثاني: تناقضات الرياضيات

المصدر: كتاب Reason and Revolt
عنوان فصل الكتاب باللغة الإنجليزية: Does Mathematics Reflect Reality?- Part Four: Order Out of Chaos
تأليف: تد غرانت وآلان وود
عام النشر: 1995

تعريب: علــي عامــر

تناقضات الرياضيات

انجلس ومن قبله هيجل, أشار إلى التناقضات العديدة التي تتكاثر داخل الرياضيات. هكذا كانت الحالة دائماً برغم دعاوي الكمال والعصمة التي نسبتها الرياضيات لعلمها المتسامي. هذا التقليعة بدأت مع الفيثاغوريين, مع مفهومهم الملغز عن الرقم, وتناغميّة الكون. لم يمر وقت طويل, حتى اكتشفوا أنّ كونهم الرياضي المتناغم والمرتب يعجّ بالتناقضات, ما قادمهم إلى اليأس. فعلى سبيل المثال, اكتشفوا استحالة التعبير عن طول قطر المربع بالأرقام.
الفيثاغوريون المتأخرون, اكتشفوا أنّ العديد من الأرقام لا يمكن التعبير عنها بالأرقام, مثل الجذر التربيعي للعدد "2". فهو عدد غير عقلاني. رغم استحالة التعبير عن الجذر التربيعي للعدد "2" بالكسور, إلّا أنه يلزم لإيجاد طول ضلع المثلث. رياضيّات اليوم, تحتوي على حديقة حيوانات مليئة بتلك الأصناف الغريبة التي لم تروّض بعد, رغم كل الجهود المبذولة لتدجينها, والتي بمجرّد تقبّلها كما هي, تقدم خدمات قيّمة. هكذا, لدينا أرقام غير عقلانية, وأرقام متخيّلة, وأرقام متسامية, وأرقام لانهائية, جميعها تظهر خواصاً غريبةً ومتناقضةً, وجميعها لا غنى عنها في العلوم الحديثة.

نسبة (باي) الغامضة, كانت معروفة جيّداً في اليونان القديمة, أجيال متعاقبة من طلبة المدارس, تعلّمت تعريفها بأنّها النسبة بين محيط الدائرة وقطرها. إلّا أنّه وبكل غرابة, لا يمكن تحديد قيمتها الدقيقة. حسب أرخميدس قيمتها التقريبية بطريقة "الاستنفاد." قيمتها تقع بين 3.14085 و 3.14286. ولكن لو حاولنا كتابة قيمتها بدقة, سنحصل على نتيجة غريبة: 3.14159265358979323846264338327950…, وهكذا إلى مالانهاية. (باي) -التي تعرف بأنّها رقم متسامي- الضرورية بالتأكيد لاحتساب محيط الدائرة, لا يمكن التعبير عنها كحل لمعادلة جبرية.

وهناك أيضاً, الجذر التربيعي للسالب واحد, وهو ليس رقماً حسابياً على الاطلاق. علماء الرياضيات يعرفونه "كعدد تخيّلي," حيث لا يوجد رقم حقيقي تضربه بنفسه ويعطيك نتيجة السالب واحد, لأنّ ضرب قيمتين سالبتين يعطي قيمة موجبة. إنّ هذا أحد المخلوقات الأكثر غرابة, وهو على عكس اسمه, ليس نسج خيال أبداً.
في كتابه ضد دوهرنغ, يشير انجلس: "من التناقض أنْ تكون القيمة السالبة مربعاً لأي شيء, من حيث أنّ أيّة قيمة سالبة مضروبة بنفسها تعطي مربعاً موجباً. الجذر التربيعي للسالب واحد ليس تناقضاً فحسب, بل تناقضاً عبثياً أيضاً, عبثية حقيقية. مع ذلك, فإنّ (Ö1) وفي كثيرٍ من الحالات نتيجة ضرورية لعمليّات حسابية صحيحة. علاوةً على ذلك, أين ستوجد الرياضيّات –البسيطة أو المركبة- إذا مُنِعَت من التعامل مع (Ö1)؟"
• ملاحظة من مترجم المقال:(Ö1) هو رمز رياضي للتعبير عن الجذر التربيعي للسالب واحد.

ملاحظة انجلس تبدو أكثر صحةً في هذه الأيّام. هذا التركيب المتناقض من الموجب والسالب, يلعب دوراً حاسماً في ميكانيكا الكم, حيث تظهر في حشد كبير من المعادلات الأساسية في العلم الحديث.
احتواء الرياضيات على تناقضات هائلة ليس موضع شك أبداً. هذا ما قاله هوفمان حول هذا الموضوع: "من الصعب تصديق اتصال مثل تلك المعادلة مع عالم التجربة الصارمة أي عالم الفيزياء. كونها الأساس العميق للفيزياء الجديدة, وحقيقة سبرها بعمق أكبر من أي شيء سبقها لعالم العلم والميتافيزياء, أمر لا يصدق تماماً كما كان من الصعب تصديق قضية كروية الأرض يوماً ما."

في هذه الأيام, لا مندوحة عن استخدام "الأعداد التخيّلة." الجذر التربيعي للسالب واحد يستخدم على نطاقٍ واسعٍ من العمليات الضرورية, كما هو الحال مثلاً في بناء الدارات الكهربية. الأرقام اللانهائية, بدورها, ضرورية لفهم طبيعة الزمان والمكان. لا يمكن للعلم الحديث, وبالتحديد ميكانيكا الكم, أنْ يتدبر أمره دون استخدام المفاهيم الرياضية المتناقضة بكل وضوح. بول ديراك, أحد مؤسسي مكيانيكا الكم, اكتشف أرقام "Q", التي تتحدّى قوانين الرياضيات العادية التي تقول أنّ (أ ضرب ب) هي نفسها (ب ضرب أ).


لاحقاً: الجزء الثالث: هل اللانهاية موجودة؟

#علي_عامر (هاشتاغ)      

---

ترجم الموضوع إلى لغات أخرى - Translate the topic into other languages

---

الحوار المتمدن مشروع تطوعي مستقل يسعى لنشر قيم الحرية، العدالة الاجتماعية، والمساواة في العالم العربي. ولضمان استمراره واستقلاليته، يعتمد بشكل كامل على دعمكم. ساهم/ي معنا! بدعمكم بمبلغ 10 دولارات سنويًا أو أكثر حسب إمكانياتكم، تساهمون في استمرار هذا المنبر الحر والمستقل، ليبقى صوتًا قويًا للفكر اليساري والتقدمي، انقر هنا للاطلاع على معلومات التحويل والمشاركة في دعم هذا المشروع.
 

كيف تدعم-ين الحوار المتمدن واليسار والعلمانية على الانترنت؟

تابعونا على:

الفيسبوك

التويتر

اليوتيوب

RSS

الانستغرام

لينكدإن

تيلكرام

بنترست

تمبلر

بلوكر

فليبورد

الموبايل