فيثاغورس: الموسيقى والرياضيات

ثائر البياتي

الحوار المتمدن-العدد: 7141 - 2022 / 1 / 20 - 14:51
المحور: الطب , والعلوم
    

يبحث المقال الذي بين ايديكم، وهو ثقافي-علمي، في نظرية الموسيقى التي تُسب الى الفيلسوف والرياضياتي اليوناني فيثاغورس، يبين علاقة النسب العددية الفيثاغورسية مع الأنغام أو النوتات الموسيقية كما نعرفها اليوم. ولتحقيق ذلك الهدف، أضع في بداية الموضوع بعض التعاريف والمفردات الموسيقية، مستعيناً بالموسوعة البريطانية(1).

الهيرتز، HZ: وحدة قياس تردد الموجة الصوتية أو النغمية، تساوي عدد الترددات في الثانية، سميتْ بذلك نسبة الى العالم الألماني هيرتز، أول مـَنْ برهن على وجود الموجات الكهرومغناطيسية.

الأنغام الموسيقية: موجات صوتية، بترددات معينة، تؤثر على الأوتار الصوتية في الأذن، لتصل الى جزء الدماغ المسؤول عن السمع، ليتم تفسيرها وخزنها. ولكل حيوان مدى سمع لتردد الموجات الصوتية. يتمكن الإنسان من سماع الأنغام الموسيقية بترددات: HZ( 20- 20000).

السلم الموسقي: سلسلة أنغام موسيقية، تتكرر صعوداً ونزولاً، بحسب تردداتها، وصولاً الى سبع درجات نغمية، في حالة السلم الموسيقي المتكون من سبع نغمات، وهي: دو- ري- مي- فا- صول- لا- سي- دو. وسنعرف منشأ هذه التسميات لاحقاً.

المسافة أو الفاصلة الموسيقية: تقع بين نغمتين متتاليتين، كالمسافة بين النغمة "دو" والنغمة "ري" .

الأوكتاف،( Octave): معناها في اللغة اللاتينية الثامن. هي مسافة موسيقية بين نغمتين، يكون فيها تردد النغمة الثانية ضعف تردد النغمة الأولى. وفي حالة السلم الموسيقي المتكون من سبع نغمات، تكون المسافة الموسيقية بين النغمة الأولى والعودة اليها ثانية، أوكتاف واحد، وفي هذه الحالة يحتوي الأوكتاف على سبع فواصل موسيقية. وللتوضيح، اذا مثلنا الأنغام الموسيقية بنقاط متوزعة على محيط دائرة مقفلة، ابتداءً من دو، وانتهاءً في دو مرة ثانية، يكون الأوكتاف قد احتوى على سبع فواصل موسيقية.

الألحان الموسيقية: تتكون من سلسلة النغمات الموسيقية السبعة، تترتب بأشكال مختلفة، تعطي مقطوعات موسيقية مختلفة بحسب ترتيب الأنغام. وبتنسيق المقطوعات المختلفة تتألف الألحان الموسيقية.

بحسب باحثون في نظرية الموسيقى وتاريخها، أنَّ فيثاغورس قضى كثيراً من وقته في دراسة الأعداد ونسبها، ويعود له إكتشاف النسب العددية التي ترتبط مع الأنغام الموسيقية. وفي الوقت نفسه، يؤكد مؤرخون آخرون، أنَّ فيثاغورس تعلمَ النسب العددية وعلاقاتها بالأنغام الموسيقية من معارف كانت متوفرة في مصر والعراق، بعد مكوثه فيهما لأكثر من ثلاثين عاماً قبل عودته الى اليونان لإنشاء مدرسته الفلسفية. ولحضارتي وادي النيل وبلاد الرافدين، تاريخ عريق في تطور الموسيقى قبل ميلاد فيثاغورس بأكثر من ألفي عام. وتؤكد ذلك الإكتشافات الموسيقية المختلفة، كالقيثارة السومرية، أقدم الآلات الوترية في التاريخ، التي اكتشفت في التنقيبات الأثرية في مدينة أور بجنوب العراق، ويعود تاريخها الى 2450 ق.م. وكذلك إكتشاف آلتي ناي سومريتين مصنوعتين من الفضة، في التنقيبات الأثرية في أور أيضاً في عام 1938، ويعود تاريخهما الى فترة القيثارة، وآلتي الناي محفوظتان اليوم في متحف الأثار في جامعة ولاية فلادلفيا- أمريكا. أحد النايين يحتوي على أربعة ثقوب، موزعة بنسب عددية، تقابلها أنغام موسيقية، تمَّ دراستها وتحديدها بالنسب العددية: 10:9:8:7، وهي تقابل السلم الموسيقي: C-D-E-F-G-A، بتردد يقترب من Cent (204 - 182-23 (حيث أنَّ HZ1 يعادل 4 Cent تقريباً. وهذه مكتشفات كبيرة تشير الى تطور الموسيقى في بلاد الرافدين منذ عصور قديمة.

والأن نعود الى فيثاغورس واسطورته في إكتشاف النسب العددية والأنغام الموسيقية.
تقول الأسطورة: بينما كان فيثاغورس يتخطى بالقرب من محلات الحدادين، أطربتْ أذنه لسماع أنغام صادرة من مطارق الحدادين، فدفعه فضوله المعرفي للتحقق من سبب إختلاف النغمات، فوجد علاقة بين أوزان المطارق والنغمات الصادرة( لم تكن الترددات معروفة). فاذا كانت مطرقة تصدر عنها نغمة، فان مطرقة أخرى تزن ضعف، أو ربع المطرقة الأولى، ستصدر عنها نغمة جديدة، لها ضعف أو ربع (تردد) نغمة المطرقة الأولى وهكذا. وتوصل فيثاغورس من تلك العلاقة، بحسب الأسطورة، الى النسب العددية التي تقابلها أنغام موسيقية. وهذه القصة تشبه قصة الخليل بن أحمد الفراهيدي، الذي أكتشف أكثر إقاعات ونقرات بحور الشعر العربي، بعد أن طربتْ اذنه، بحسب الرواية، للانغام الصادرة من مطارق الصفارين بسوق ببغداد القديمة. على أي حال، أنَّ مطارق الحداديين التي أطربتْ أذن فيثاغورس، لم تلقَ أهمية كبيرة عند الباحثين، بقدر أهمية علاقة طول الوتر المهتز مع الأنغام الموسيقية.

هناك اعتباران مهمان في نظرية الموسيقى يـُنسب إكتشافهما الى فيثاغورس، الأول: إيجاده نسب عددية على وتر هزاز، تقابلها أنغام موسيقية مريحة لدماغ الإنسان، والثاني هو تصنيفه للأنغام الموسيقية المريحة. ولإنجاز ذلك، قسَّمَ فيثاغورس طول الوتر، بوضع جسم تحته، الى أجزاء بنسب عددية كاملة( غير كسرية)، فوجد إنها تبعث أنغاماً مريحة، أما الأجزاء الكسرية، فبعثت أنغاماً نشازاً، غير مريحة (2).

وبذلك كان إختيار فيثاغورس طولاً لوتره مقداره 12 وحدة قياس، إختياراً ناجحاً، فالعدد 12 وفـَّر له اكبر عدد من القواسم بالنسبة لصغر طوله، وهي:(1،2،3،4،6،12)، التي تـُقسم العدد 12 الى أجزاء كاملة، من دون كسور، تبعث عند العزف، انغاماً موسيقية مريحة، بحسب تصنيف فيثاغورس (3).
إنَّ هزَّ الوتر بكامله، يعطي نغماً معيناً، وضع له فيثاغورس النسبة: 12:12 وبالتبسيط تكون النسبة: 1:1. أما تقسيم الوتر إلى نصفين متساويين، كل قسم فيه 6 وحدات، وهزّ نصف الوتر، يعطي نغمة، تشبه النغمة الصادرة من هزّ الوتر بكامله، لكنها أكثر حدة، علاقتها الحسابية مع الوتر الكامل: 12:6 ، وبالتبسيط، تكون النسبة: 2:1 وهي أهم نسبة عددية تقابل نغمة موسيقية، تسمى بلغة الموسيقى الأوكتاف. نقول أنَّ النغمة الجديدة المقابلة لهذه النسبة، أعلى بأوكتاف واحد من النغمة السابقة، ويكون ترددها ضعف تردد النغمة الأولى.
يمكن ملاحظة الأوكتاف في مظاهر مختلفة، وللتوضيح أدرج بعضها:

1. عندما يكون هناك غناء مشترك يؤديه نساء ورجال أو رجال وأطفال، يتميز صوت كل منهم، بإختلاف تردد أو نغمة صوته، فمثلاً تردد صوت المرأة HZ(255 - 165)، وتردد صوت الرجل HZ (155 - 85)، أي ان تردد صوت الأول ضعف ترد الثاني تقريباً، فنقول ان تردد صوت المرأة أعلى بأوكتاف واحد من تردد صوت الرجل، وكذلك تردد نغمة صوت الطفل HZ 250-300) (هو تقريباً ضعف تردد نغمة صوت الرجل، فنقول ان تردد نغمة صوت الطفل أعلى بأوكتاف من تردد نغمة صوت الرجل.
2. عندما يهتز وتر بكامل طوله، ويهتز الوتر بنصف طوله، سيكون أهتزاز نصف الوتر أعلى باوكتاف من طول الوتر الكلي. وهذا هو أساس تصميم أوتار القيثارة، مع تثبيت مادة صنع الوتر وقوة شده.
3.يعمل البيانو كقيثارة ولكن بمطارق عوضاً عن الأوتار، وهي أشبه بمطارق الحداديين وانغامها التي طربتْ أذن فيثاغورس، حيث ان الترددات تتناسب مع اوزان المطارق.
4. إنَّ النـفخ في انبوب واعادت النفخ باستخدام ضعف طول الأنبوب، يولد نغماً في الأنبوب الأطول أدنى بأوكتاف واحد من النغم الصادر في النفخ في الأنبوب الأقصر.
5. إذا قسنا شدة ربط طبلة آلة الطبل، ومن ثم ضاعفنا شدَّ ربط الطبلة، سيكون النغم في المرة الثانية أعلى بأوكتاف واحد.
وبغض النظر عن جميع الحالات المذكورة أعلاه، كغناء المرأة والرجل، وهز الوتر ونصف طوله وطرق مطارق البيانو المضاعفة الأوزان والنفخ بناي كامل الطول ونصف طوله وشد طبلة طبل ومضاعفة شده، نجد علاقة الأوكتاف( الضعف والنصف) المتكرر في كل حالة، فنقول: ان هناك علاقة بين جميع تلك الحالات، تـُقابلها النسبة العددية: 2:1، او الأوكتاف.

تمكن فيثاغورس، وبالإستفادة من الأوكتاف، 12:6، وبإستخدام الرياضيات من إيجاد نسب عددية جديدة، تقابلها انغام جديدة، أعتبرت اساسية في بناء السلم الموسيقي. ويعتقد الباحثون، أنَّ فيثاغورس،أوجد النسب الأساسية الثلاثة الأولى فقط، وهي: 1:1 ، 12:6، 3:2 .
ولكن لاحقاً، وباستخدام التعريف الفيثاغورسي لجمع وطرح النغمات الموسيقية، وُجدتْ النسب العددية الأضافية(*)، التي سنلاحظ بعد العرض التاريخي القصير لتطور الموسيقى، تقابلها مع السلم الموسيقي الذي يتكون من ثماني درجات من النّغم. والنسب العددية الثمانية هي:
9:8، 81:64، 4:3، 27:16 ، 128 :243، 128 :243، إضافة للنسبتين 1:1، 2:1.

والأن، من المفيد أن نذكر بعض الشيء عن تاريخ الموسيقى وتطورها، حتى يتسنى لنا الإشارة إلى الأنغام الموسيقية بأسمائها ورموزها الحديثة وتردداتها بالهيرتز، وما يقابلها من نسب عددية فيثاغورسية، بما يوضح الربط بين ماضي وحاضر الموسيقى.

يذكر كثير من المفكرين، أنَّ الموسيقى لغة عالمية. وإنَّ تلك اللغة تطورتْ مثلما تطورتْ اللغات، لكن الإنسان تمكن من إختراع كتابة اللغة المنطوقة قبل 5000 سنة، كما حدث في حضارتي بلاد الرافدين وبلاد النيل، إلا أنَّ كتابة لغة الموسيقى، تأخرت لفترات طويلة. وبذلك إعتمد الموسيقيون في تلك الفترات في تعلم الموسيقى ونقل ألحانها على الحفظ والممارسة حتى ظهور إبداعات الراهب الموسيقي الإيطالي غيدو (Guido) في بداية القرن الحادي عشر. فالراهب غيدو طوَّرَ طريقة تسهيل وتعليم الموسيقى وكتابة ألحانها لأغراض التراتيل الكنائسية، وبعمله فتح صفحة جديدة في تطور الموسيقى، وله تنسب تسمية الأنغام الموسيقية المعاصرة : دو- ري- مي-... ،سي، دو. ولكن هناك رأي آخر للمستشرق الأنكليزي هنري جورج فارمر، الذي يرى إن المقاطع: دو – ري – مي – فا – صول –لا، مقتبسة من المقاطع النغمية للحروف العربية: (د – ر – م – ف – ص – ل ( وتجمعها الكلمتان، در مفصل، وقد ذكر ذلك في كتابه " تاريخ الموسيقى العربية" الذي ضمَّ بعض أبحاث الكندي والفارابي وابن سينا وغيرهم، التي اعتبرتْ مرجعاً مهماً للموسيقى الغربية لفترات طويلة، والراهب غيدو لابد أن أطلع عليها في مطالعاته. وتُكتب الأنغام الموسيقية باللغة العربية كالتالي: دو- ري- مي- فا- صول- لا- سي- دو
وتقابلها في اللغة الأنكليزية: Do, Re, Mi, Fa, So, La, Ti, Do
وتقابلها الأحرف اللاتينية على الترتيب التالي: C, D, E, F, G, A, B, C

ومن مراجعة(4)، نجد أنَّ ما يقابل الأنغام الموسيقية الثمانية من النسب العددية الفيثاغورية، يتطابق مع النسب المبينة التالية:
Do-2:1 ، Ti- 243:128، 27:16– La، 3:2 So- ، 4:3 - Fa، 81:64-Mi ، 9:8Re- ، Do- 1:1

هناك تسميات دارجة في لغة الموسيقى، لبعض النسب العددية، فالنسبة 3:2، تسمى الخامس الكامل، وتأتي تسميتها لأنها تقابل النغمة الخامسةSo ، وهي نغمة كاملة الوضوح. أما النسبة 4:3 فتسمى الرابع الكامل، حيث فيها وضوح النغمة أيضاً، تقابل النغمة الرابعة Fa . ومن الممكن أن نجد نسب عددية إضافية في المسافات بين الأنغام الموسيقية المذكورة. ومن مراجعة(5) بخصوص النغمات الموسيقية وما يقابلها من النسب العددية الفيثاغورسية وتردداتها بوحدة الهيرتز في الثانية، نجد الجدول التالي بنسبها التقريبية:

note C D E F G A B C
ratio 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
Freq.(Hz) 261.626 294.33 327.03 348.83 392.44 436.04 490.55 523.25
name tonic major 2nd major 3rd fourth fifth major 6th major 7th octave

يمكن الحصول على سلم موسيقي من 12 نغمة، بإيجاد أنغام إضافية، مقابلة لنسب عددية جديدة، نحصل عليها بمزيد من تقسيم المسافات بين الأنغام، بنسب أعلى أو أخفض من النسب الموجودة في السلم السباعي، لكن النغمات ستكون قريبة من بعضها. في الواقع هناك طيف من النغمات الموسيقية تشبه الطيف الشمسي، لكن يصعب على الأذن البشرية تمييزها.

أنتــــهــــــــــــــى


الهامش:


(*)عرَّف فيثاغورس جمع وطرح النغمات الموسيقية، بالشكل التالي: إنَّ جمع َ نغمتين موسيقيتين، يكون بضرب النسبتين المقابلتين لهما( للنغمتين)، وطرح نغمتين موسيقيتين، يكون بتقسيم النسبتين المقابلتين لهما. ( 6)
حصل فيثاغورس على النسبة العددية 3:2، بإستخدام المعدل الحسابي بين عددي الأوكتاف (12:6). يُعرَّف المعدل الحسابي بين عددين A ، B، على أنَّه: A)/2 + (B. ينتج أنَّ المعدل الحسابي بين عددي الأوكتاف 6 :12، هو: 2 / (12+6 )= 9
أي اننا اذا اخترنا جزءاً من الوتر الكامل، طوله 9 وحدات وقطعنا منه 6 وحدات، فالنغم الصادر من هزِّ الوتر الجديد هو نغم يقابله النسبة 9:6 وبتبسيط هذه النسبة، نحصل على: 3:2
أما النسبة العددية 4:3 التي تقابل الرابع الكامل، فيمكن الحصول عليها بإستخدام المتوسط او المعدل التوافقي بين الأوكتاف. يـُعـّرف المتوسط أو المعدل التوافقي B ، بين العددين A, C بالعلاقة:
B= 2AC/ (A+C). ينتج ان المتوسط التوافقي بين عددي الأوكتاف 12:6 هو: 12+6 =8 / 2*12*6
أي اذا أخذنا جزءاً من الوتر الكامل، بطول 8 وحدات، وقطعنا منه 6 وحدات، فيكون النغم الصادر من هزِّ الوتر الجديد، نغم جديد، يقابله النسبة 8:6 وبالتبسيط نحصل على: 4:3.
إيجاد النسبة 9:8
يكون بجمع النسبة 3:2 مرتين، وبطرح النسبة 2:1 منهما، أي:
2:1 = 3:2* 3:2 / 2:1 = 9:4* 1:2 = 9/8- (3:2+3:2)
إيجاد النسبة 81:64
يكون بجمع النسبة 9:8 مع النسبة 3:2 مرتين وطرح النسبة 2:1 منهما، أي:
(9:8+3:2+3:2) -2:1 = 9:8*3:2*3:2/2:1 = 9:8*3:2*3:2*1:2 = 81:64
إيجاد النسبة 4:3
يكون بطرح النسبة 3:2 من النسبة 2:1، أي: 3 = 4:3 :2 * 1:2 = 2:3 / 2:1 = 3:2 - 2:1
إيجاد النسبة 27:16
يكون بجمع النسبة 9:8 مع النسبة 3:2 ، أي: 27:163:2 * 9:8 = = 9:8 + 3:2
إيجاد النسبة 128 :243
يكون بجمع النسبة 81:64 مع النسبة 3:2 ، أي: 243:128 = 81:64 + 3:2

المصادر

1. الموسوعة البريطانية
https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclop%C3%A6dia_Britannica

2. مقياس فيثاغورس الموسيقي
https://www.teoria.com/en/articles/temperaments/02-pythagoras.php

3. النسب العددية في الموسيقى
http://legacy.earlham.edu/~tobeyfo/musictheory/Book1/FFH1_CH1/1M_RatiosCommas1.html

4. النسب الفيثاغورسية وما يقابلها من أنغام موسيقية
https://thatsmaths.com/2014/08/28/temperamental-tuning/

5. النسب الفيثاغورسية وما يقابلها من ترددات بوحدة الهيرتز
https://thatsmaths.com/2014/08/28/temperamental-tuning/

6. اللوغارتمات والنسب الموسيقية
http://www.rctn.org/bruno/psc129/handouts/logs-and-music/logs-and-music.html

#ثائر_البياتي (هاشتاغ)      

---

اشترك في قناة ‫«الحوار المتمدن» على اليوتيوب
حوار مع الكاتب البحريني هشام عقيل حول الفكر الماركسي والتحديات التي يواجهها اليوم، اجرت الحوار: سوزان امين	حوار مع الكاتبة السودانية شادية عبد المنعم حول الصراع المسلح في السودان وتاثيراته على حياة الجماهير، اجرت الحوار: بيان بدل

كيف تدعم-ين الحوار المتمدن واليسار والعلمانية على الانترنت؟

تابعونا على:

الفيسبوك

التويتر

اليوتيوب

RSS

الانستغرام

لينكدإن

تيلكرام

بنترست

تمبلر

بلوكر

فليبورد

الموبايل

كيفية إشراك-إيصال مواضيعكم أو مواضيع تهمكم  إلى اكبر عدد ممكن من القراء والقارئات