أخبار عامة - وكالة أنباء المرأة - اخبار الأدب والفن - وكالة أنباء اليسار - وكالة أنباء العلمانية - وكالة أنباء العمال - وكالة أنباء حقوق الإنسان - اخبار الرياضة - اخبار الاقتصاد - اخبار الطب والعلوم
إذا لديكم مشاكل تقنية في تصفح الحوار المتمدن نرجو النقر هنا لاستخدام الموقع البديل

الصفحة الرئيسية - الفلسفة ,علم النفس , وعلم الاجتماع - مازن ريا - مشكلة اللانهاية عند جورج كانتور















المزيد.....

مشكلة اللانهاية عند جورج كانتور


مازن ريا

الحوار المتمدن-العدد: 4936 - 2015 / 9 / 25 - 20:40
المحور: الفلسفة ,علم النفس , وعلم الاجتماع
    


تكتسب معالجة كانتور لفكرة اللانهاية أهمية خاصة جعلتها تشكل علامة فارقة في تاريخ معالجة هذه القضية، حيث ذهب بعض الباحثين إلى ((إن الفارق في تناول فكرة اللانهاية عبر العصور
تناول كانتور لها هو الفارق بين الجدل الفلسفي الذي يحلل أفكاراً غامضة والمعالجة الرياضية التي تعالج أعداداً على أساس عمليات حسابية)) .
إن أول من كشف عن مشكلة اللانهاية في نظرية المجموعات كان العالم الرياضي التشيكي بولزانو* عندما أجرى تقابلاً بين مجموعة الأعداد الطبيعية1،3,2..... ومجموعة الأعداد الزوجية6,4,2 … من هذا المنطلق يعرف بولزانو اللانهاية بالقول: ((اللانهائية هي تلك التي تكون قادرة على أن تخضع لعلاقة التطابق واحد- إلى –واحد الكل مع الجزء نفسه)) ، ويستنتج أنَّ((السلسلتين اللامتناهيتين المتقابلتين عددٌ بإزاء عدد،"إن خاصية العدد اللامتناهي الكبر" هي أنَّ الكل يساوي جزأه على خلاف المألوف باعتبار أن سلسلة الأعداد الزوجية هي نصف الأعداد في السلسة الكاملة. .))
إلا أن كانتور ينتقد مفهوم اللانهاية الفعلية عند بولزانو لأنه غير واضح ومفهوم العد غير متطور وهو يرى كل البراهين المساقة ضد اللانهاية الفعلية ذات أخطاء وعيوب مفترضاً أنّه((لا توجد مجموعة لانهائية بين مجموعة الأعداد الحقيقية، ومجموعة الأعداد الطبيعية، وهكذا لا يوجد مجموعة لديها ترتيب أعلى من الأعداد الطبيعية ولا ترتيب أقل من مجموعة الأعداد الحقيقية)) .
أن مجموعة الأعداد الطبيعية ,3,2,1……. هي مجموعة لا متناهية وكذلك مجموعة الأعداد الصحيحة……-3,-2,-1, 0, 3,2,1,….. و هذا يعني أنّه يمكن استخدام طريقة التناظر بين المجموعتين أي يمكن أن نسير في إقامة علاقة واحد بواحد إلى ما لانهاية له الأمر الذي يعني أن هناك من الأعداد الطبيعية بقدر ما هناك من الأعداد الصحيحة على الرغم من أن هذه ضعف تلك وبعبارة آخرى فالمجموعتان متساويتان من حيث عدد العناصر على الرغم من أنَّ الثانية تحوي ضعف الأولى من حيث عدد العناصر(( كل المجموعات
اللانهائية لها نفس العدد من العناصر، والجزء منها يساوي الكل "الجزء اللانهائي")) .
أمَّا إذا استخدمنا الطريقة السابقة بين مجموعة الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الحقيقية فإننا نجد أن المجموعتين غير متساويتين حسب نظرية كانتور التي تنص على ((أن مجموعة الأعداد الحقيقية Rلا يمكنها أن تقابل واحداً- إلى واحد مع الأعداد الطبيعية N)) ، ويمكن توضيح وجهة نظر كانتور من خلال مستقيم الأعداد الموجه:
وبإجراء تقابل بين الأعداد الطبيعية، ونقاط المستقيم نجد أنَّ كل عدد طبيعي يقابل نقطة على مستقيم الأعداد، ولكن العكس ليس صحيحاً أي ليس كل نقطة من مستقيم الأعداد تقابل عدداً طبيعياً، وبالتالي فمجموعة نقاط المستقيم وهي مجموعة لانهائية "لا تكافئ" مجموعة الأعداد الطبيعية، بينما مجموعة الأعداد الحقيقية تكافئ نقاط مستقيم الأعداد حسب كانتور إذ يقول:((أية نقطة على الخط المتصل"مستقيم الأعداد"يناظرها عدد،هذا العدد حقيقي كي يمكن تمييزه عن الأعداد التخيلية وبالمثل أي عدد حقيقي تناظره نقطة على الخط المستقيم)) ، وهذه المقارنة بين نقاط الخط المستقيم والأعداد الحقيقية اعتبرت إحدى إنجازات
كانتور المهمة من حيث ((أن الوصف الدقيق لمفهوم اتصال نقاط الخط المستقيم وارتباطه
بنسق الأعداد الحقيقية الخاضع لمبدأ التكافؤ أو المطابقة_واحد إلى واحد)) .
هذا الإنجاز لكانتور لم ينج من سهام الانتقادات حيث وجهت إليه ملاحظات عديدة كان أبرزها أن كانتور يفترض أنَّ نقاط الخط المستقيم متصلة وهو في ذلك يعتمد على الحدس وليس على البرهان، وهذه المسألة قد تعرضت للنقض على يد كل من كوشي وريمان عندما تبين أن
هناك توابع منفصلة، حيث وجد عدد لا ينتهي من الانفصالات بين نقطتين.
كما يمكن توجيه ملاحظات إضافية استنتجناها من خلال هذه الدراسة وهي أن مجموعة الأعداد الحقيقية والتي تضم الأعداد اللاقياسية"الصماء" مثل 2√-;-,π-;-,......هي أعداد غير دورية وغير منتهية فكيف يمكن تمثيل ما هو غير منتهٍ على مستقيم الأعداد بشيء منتهٍ وهو النقطة؟
لقد((استند كانتور إلى الكسور المنتهية والمستمرة في تمثيل الأعداد الصماء، فهو يقيم تطابقاً بين الأعداد الصماء ومجموعة من المتتاليات اللانهائية المعرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية)) وإذا سلمنا بذلك فإنّ كل نقطة من مستقيم الأعداد لا تقابل عدداً حقيقياً مثلا لا توجد نقطة مقابل العدد الحقيقي2√-;- لأنه عدد عشري غير دوري وغير منته، ومن جهة أخرى، فكل عدد حقيقي ليس بالضرورة أنَّ يقابل نقطة بل قد يقابل سلسلة غير منتهية من النقط وهذا يناقض القول السابق بوجود المطابقة واحد إلى واحد بين نقط المستقيم ومجموعة الأعداد الحقيقية الذي اعتبر من إنجازات كانتور المهمة.
من جهة أخرى تنص فرضية المتصل عند كانتور على عدم وجود لانهاية بين مجموعة الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الحقيقية وقد توصل كانتور إلى هذه الفرضية من خلال التمييز بين الأعداد التي تسمى أعداداً أساسيةcardinal numbers وهي مجموعة الأعداد الطبيعية ذاتها، وبين أعداد أساسية لامتناهية، افترض كانتور أن العدد الأساسي اللانهائي لمجموعة الأعداد الطبيعية هوN0 وهو يمثل حجم المجموعة، وبالتالي تكون كل مجموعة من حجمN0 إذا أمكن إجراء تقابل واحد إلى واحد بين عناصرها ومجموعة الأعداد الطبيعية، وتسمى هذه المجموعة معدودة العدد الذي يليN0 هوN1 عدد موغل وهو العدد الأساسي للمجموعات غير القابلة للعد ومن ثم هناك العددN2 ... وهكذا وللحصول على عدد أساسي أكبر من العدد الذي يكون معطى لنا يمكن استخدام القانون n2 حيث a عدد عناصر المجموعة، فالمجموعة التي عدد عناصرها 3 يكون عدد المجموعات الجزئية منها هو8 فالمجموعات الجزئية اللامتناهية لمجموعة لا متناهية حجمهاN0 هو NO2 وتسمى بالاستمرارية لأنه لا يوجد عدد أساسيN1 بينN0 و NO2 في حين إذا وجد عدد اساسيN1 بينNO و NO2 فإن فرضية الاستمرارية خاطئة وبالتالي يكون هناك عدد لانهائي من الأعداد الحقيقية الكبيرة التي لها العدد الأساسي N1 يمكن إجراء تقابل مع الأعداد الطبيعية و بالمقابل فهناك عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية الصغيرة جداً لا يمكن إجراء تقابل معها.
وقد أوضح كورت جودل ((أنَّ فرضية كانتور في الاستمرارية مستقلة عن بديهيات نظرية المجموعات، وبالتالي لا يمكن إثبات أنها خاطئة على أساس البديهيات الحالية لنظرية المجموعات)) ، أما بول كوهين فقد أثبت أن ((فرضية الاستمرارية لا يمكن إثبات صدقها على أساس بديهيات نظرية المجموعات)) ، ربما وفقاً لهذه الملاحظات عدت اكتشافات كانتور(( بمثابة امتداد لتكهنات المدرسية القديمة حول طبيعة اللانهاية، و كانتور نفسه على علم بذلك، كما دافع عن قبول سانت أوغستين المطلق باللانهاية الفعلية)) .
يرى بعض الباحثين أن هذه التخمينات كان لها تأثير في مبتكري حساب اللامتناهيات في الصغر في القرن السابع عشر وفلاسفة القرن التاسع عشر الذين تناولوا مفهوم العدد الموغل" ما بعد المنتهي" ،أمثال كافالرى، بولزانو ، كانتور،و الذين كانوا على دراية بأعمال الباحثيين المدرسيين ولكنهم أبحروا في مقاصد أفكارهم.
في هذا السياق يقسم "الصديقي" فكرة اللانهاية في الفكر الغربي تاريخياً إلى ثلاث مراحل الأولى: ويطلق عليها ما قبل الأرسطية والثانية: هي المتمثلة في تحليل اللانهاية عند أرسطو والمرحلة الأخيرة متمثلة في أعمال كانتور، إلا إنّ هذا التقسيم لا يعطي فكرة صحيحة عن تاريخية مشكلة اللانهاية سواء في الفلسفة أو الرياضيات أو في العلم بشكل عام، لأنه يلغي مرحلة العصر الوسيط* والذي ظهرت فيه اللانهاية كإحدى الصفات الإلهية الدالة على القدرة المطلقة لله، والتي كان لها تأثير كبير على كل من تناولها فيما بعد.
كما أن هذا التصنيف يقفز فوق كثير من آراء الفلاسفة والرياضيين الذين تناولوا هذه المشكلة مثل سبينوزا،ديكارت،ليبتنز،نيوتن، كانط. والذين عرضنا آراءهم في فصل سابق.
ويعتبر "الصديقي" الحل الجذري لمشكلة اللانهاية هو الذي أتى به جورج كانتور، حيث هذب فكرة اللانهائية تهذيباً رائعاً مقدماً الحل النهائي بعدما كانت اللانهاية عائمة في محيط المطلق
اللامحدود، وأعاد الإعتبار لفكرة اللانهاية الحقيقية التي نبذها سلفه، وهي اللانهاية الكاملة أو التامة وليست الممكنة أو الجهدية كما كان يتصورها الأوائل .
وهذا الرأي إشكالي بنظرنا لأنه يطرح قضية وجود أدلة يقنية على وجود اللانهاية الحقيقية أو عدم وجودها حيث يرى رسل أنه (( لايمكن البت إطلاقا حول درجة اليقين بأن هناك في الحقيقة مجموعة لانهائية من الأشياء في العالم ... إلا أنّ هناك هاجساً يثُير القلق وهو أنّها وهمية ومضللة ومن ثم ليس هناك سبب لاستنتاج منطقي يحملنا على الاعتقاد بأنّها صحيحة، وفي الوقت ذاته هناك بالتأكيد عدم وجود سبب منطقي يقف بالمرصاد ضد المجموعة اللانهاية. )) من هنا تنبع إشكالية اللانهاية فلسفياً ورياضياً فهي مشكلة وليست مسألة رياضية كما يعنون "الصديقي" كتابه " مسألة اللانهاية عند جورج كانتور والسبب برأينا يعود إلى أنّ
(( الإشكالي هو المشكوك في أمره الذي يمكن إثباته مجانياً دون برهان كافٍ وثانياً ما يمكن اعتباره كأنه بقي معلقاً)) والمشكلة(( هي المعضلة النظرية أو العلمية التي لايوصل فيها إلى حل يقيني)) ، بينما المسألة هي موضوع المناقشة والبحث، يقول الجرجاني: ((المسائل هي المطلب التي يبرهن عليها في العلم ويكون الغرض من ذلك العلم معرفتها))
لقد تعرضت فكرة كانتور لكثير من الانتقادات ممن عاصروه وأتوا بعده حيث تم الكشف عن كثير من المتناقضات التي تعتري نظرياته حول اللانهاية، ومن جهة أخرى رفض كانتور ((دور اللانهائية في الصغر وبالتحديد في طبيعة الإستمرارية)) و تناول مشكلة اللانهاية في الكبر فقط بينما مشكلة اللانهاية هي أيضا مشكلة اللانهاية في الصغر كما يذهب بوانكاريه: ((إنّ الرياضيين يميزون بين اللامتناهيات الصغر المنتمية إلى رتب مختلفة، وإنّ تلك التي تنتمي منها إلى الرتبة الثانية ليست لا متناهية الصغر على جهة الإطلاق فحسب، بل هي كذلك أيضاً بالنسبة إلى اللا متناهي الصغر من الرتبة الأولى، ولا يعسر علينا تخيل اللامتناهيات الصغر من رتبة كسرية وحتى صماء)) .
وفي السياق ذاته فإننا لا نجد في نظريات كانتور في اللانهاية أي حلول أو مقاربات للمفارقات التي طرحها زينون الإيلي والمتعلقة باللامتناهيات في الصغر، والجدير بالذكر هنا أنّ نظرية المجموعات الداخليةInternal Sets Theory أو"IST" " قد تناولت ما تجاهله كانتور مقدمةً حلولاً لمشكلة اللامتناهيات في الصغر من خلال تصنيف الأعداد ضمن ثلاثة أنماط هي ((أولها هو الأعداد غير المعيارية اللامتناهية في الصغر وهي تلك التي تكون أصغر من أي عدد معياري موجب وأكبر من الصفر، والنمط الثاني هو الأعداد غير المعيارية المختلطة، تنشأ عن إضافة أو طرح كميات لامتناهية في الصغر إلى أعداد معيارية، والنمط الثالث هو الأعداد غير المعيارية وغير المحددة وهي مقلوبات الأعداد غير المعيارية اللامتناهية في الصغر)) .
وبناء على ما تقدم نعتقد من الصعوبة بمكان القول إن مشكلة اللانهاية قد وجدت حلاً جذرياً عند كانتور لأنه لا يمكن لنظريات تحوي تناقضات أن تقدم حلولاً صحيحة من هنا كان الاختلاف مع من اعتبر أن اللانهاية مسألة وجدت حلاً، فهي إشكالية"مشكلة" تعددت وجهات النظر والحلول المقاربة لها واختلفت.



#مازن_ريا (هاشتاغ)      



اشترك في قناة ‫«الحوار المتمدن» على اليوتيوب
حوار مع الكاتب البحريني هشام عقيل حول الفكر الماركسي والتحديات التي يواجهها اليوم، اجرت الحوار: سوزان امين
حوار مع الكاتبة السودانية شادية عبد المنعم حول الصراع المسلح في السودان وتاثيراته على حياة الجماهير، اجرت الحوار: بيان بدل


كيف تدعم-ين الحوار المتمدن واليسار والعلمانية على الانترنت؟

تابعونا على: الفيسبوك التويتر اليوتيوب RSS الانستغرام لينكدإن تيلكرام بنترست تمبلر بلوكر فليبورد الموبايل



رأيكم مهم للجميع - شارك في الحوار والتعليق على الموضوع
للاطلاع وإضافة التعليقات من خلال الموقع نرجو النقر على - تعليقات الحوار المتمدن -
تعليقات الفيسبوك () تعليقات الحوار المتمدن (0)


| نسخة  قابلة  للطباعة | ارسل هذا الموضوع الى صديق | حفظ - ورد
| حفظ | بحث | إضافة إلى المفضلة | للاتصال بالكاتب-ة
    عدد الموضوعات  المقروءة في الموقع  الى الان : 4,294,967,295
- فلسفة الأعداد المتجاوزة
- وهم اللامتناهي في النظرية النسبية
- الفراغ واللامتناهي في الفيزياء الكلا سيكية
- مفهوم اللامتناهي رياضيا
- الحقيقة الرياضية والمكان الرياضي
- المشكلة الفيثاغورية
- اللامتناهي بين الوجود بالقوة والوجود بالفعل
- مفهوم الحركة عند زينون الايلي
- اللانهاية اصطلاحا
- اللانهاية في الهندسة الاقليدية
- الفكر الديني والفكر الفلسفي
- اللامتناهي فلسفيا
- اللانهاية في المدرسة الأيونية


المزيد.....




- بيسكوف: نرفض أي مفاوضات مشروطة لحل أزمة أوكرانيا
- في حرب غزة .. كلا الطرفين خاسر - التايمز
- ارتفاع حصيلة ضحايا هجوم -كروكوس- الإرهابي إلى 144
- عالم فلك: مذنب قد تكون به براكين جليدية يتجه نحو الأرض بعد 7 ...
- خبراء البرلمان الألماني: -الناتو- لن يتدخل لحماية قوات فرنسا ...
- وكالة ناسا تعد خريطة تظهر مسار الكسوف الشمسي الكلي في 8 أبري ...
- الدفاع الروسية تعلن القضاء على 795 عسكريا أوكرانيا وإسقاط 17 ...
- الأمن الروسي يصطحب الإرهابي فريد شمس الدين إلى شقة سكنها قبل ...
- بروفيسورة هولندية تنظم -وقفة صيام من أجل غزة-
- الخارجية السورية: تزامن العدوان الإسرائيلي وهجوم الإرهابيين ...


المزيد.....

- فيلسوف من الرعيل الأول للمذهب الإنساني لفظه تاريخ الفلسفة ال ... / إدريس ولد القابلة
- المجتمع الإنساني بين مفهومي الحضارة والمدنيّة عند موريس جنزب ... / حسام الدين فياض
- القهر الاجتماعي عند حسن حنفي؛ قراءة في الوضع الراهن للواقع ا ... / حسام الدين فياض
- فلسفة الدين والأسئلة الكبرى، روبرت نيفيل / محمد عبد الكريم يوسف
- يوميات على هامش الحلم / عماد زولي
- نقض هيجل / هيبت بافي حلبجة
- العدالة الجنائية للأحداث الجانحين؛ الخريطة البنيوية للأطفال ... / بلال عوض سلامة
- المسار الكرونولوجي لمشكلة المعرفة عبر مجرى تاريخ الفكر الفلس ... / حبطيش وعلي
- الإنسان في النظرية الماركسية. لوسيان سيف 1974 / فصل تمفصل عل ... / سعيد العليمى
- أهمية العلوم الاجتماعية في وقتنا الحاضر- البحث في علم الاجتم ... / سعيد زيوش


المزيد.....
الصفحة الرئيسية - الفلسفة ,علم النفس , وعلم الاجتماع - مازن ريا - مشكلة اللانهاية عند جورج كانتور